Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $y'=ay$ - Les équations différentielles - Enseignement de spécialité

Question 1

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :y'=4y$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=4

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{4x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{4x}

où

k

est une constante réelle.

Question 2

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :y'=5y$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=5

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{5x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{5x}

où

k

est une constante réelle.

Question 3

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :-9y'-2y=0$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme

y'=ay

. Ainsi:

-9y'-2y=0

équivaut successivement à :

-9y'=2y

y'=\frac{2}{-9}y

y'=-\frac{2}{9}y

On identifie ici que :

a=-\frac{2}{9}

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{-\frac{2}{9}x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{-\frac{2}{9}x}

où

k

est une constante réelle.

Question 4

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :y'=-7y$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=-7

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{-7x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{-7x}

où

k

est une constante réelle.

Question 5

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :5y'-8y=0$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme

y'=ay

. Ainsi:

5y'-8y=0

équivaut successivement à :

5y'=8y

y'=\frac{8}{5}y

On identifie ici que :

a=\frac{8}{5}

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{\frac{8}{5}x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{\frac{8}{5}x}

où

k

est une constante réelle.

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ayy'=ayy′=ay - Exercice 1

On considère l’équation différentielle (E):y′=4y\left(E\right) :y'=4y(E):y′=4y où yyy est une fonction de la variable xxx, définie et dérivable sur R\mathbb{R}R et y′y'y′ la fonction dérivée de yyy.Résoudre (E)\left(E\right)(E) .

On considère l’équation différentielle (E):y′=5y\left(E\right) :y'=5y(E):y′=5y où yyy est une fonction de la variable xxx, définie et dérivable sur R\mathbb{R}R et y′y'y′ la fonction dérivée de yyy.Résoudre (E)\left(E\right)(E) .

On considère l’équation différentielle (E):−9y′−2y=0\left(E\right) :-9y'-2y=0(E):−9y′−2y=0 où yyy est une fonction de la variable xxx, définie et dérivable sur R\mathbb{R}R et y′y'y′ la fonction dérivée de yyy.Résoudre (E)\left(E\right)(E) .

On considère l’équation différentielle (E):y′=−7y\left(E\right) :y'=-7y(E):y′=−7y où yyy est une fonction de la variable xxx, définie et dérivable sur R\mathbb{R}R et y′y'y′ la fonction dérivée de yyy.Résoudre (E)\left(E\right)(E) .

On considère l’équation différentielle (E):5y′−8y=0\left(E\right) :5y'-8y=0(E):5y′−8y=0 où yyy est une fonction de la variable xxx, définie et dérivable sur R\mathbb{R}R et y′y'y′ la fonction dérivée de yyy.Résoudre (E)\left(E\right)(E) .

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $y'=ay$ - Exercice 1

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :y'=4y$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :y'=5y$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :-9y'-2y=0$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :y'=-7y$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :5y'-8y=0$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .