Nous allons déterminer les solutions de
y′=y.
Soit l’équation différentielle
y′=ay où
a est un réel avec
a=0, et où
y est une fonction de la variable
x définie et dérivable sur
R.
Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax où k est une constante réelle.On identifie ici que :
a=1 .
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :
f(x)=kex où
k est une constante réelle.
Finalement :
f(x)=kex où
k est une constante réelle.
D'après la question précédente,
f est une solution de
(E) si et seulement si
f−h est une solution de
y′=yComme
f−h est une solution de
y′=y .
Il en résulte donc que :
f(x)−h(x)=kex où
k est une constante réelle.
Ainsi :
f(x)=h(x)+kexf(x)=xe2x+kexLes solutions de
(E) sont les fonctions
x↦xe2x+kex où
k est une constante réelle.