Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 2

Nous savons que $$y'+2y=b$$ qui s'écrit également $$y'=-2y+b$$
On identifie ici que : $$a=-2$$ et $$b=b$$.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{-2x} -\frac{b}{\left(-2\right)}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement : où $$k$$ est une constante réelle.
Maintenant, nous cherchons l'unique solution vérifiant $$f\left(2\right)=0$$ et $$f\left(1\right)=3$$.
A l'aide de la condition $$f\left(2\right)=0$$, nous allons déterminer la valeur du réel $$k$$.
$$ke^{-2\times 2} +\frac{b}{2} =0$$
$$ke^{-4} =-\frac{b}{2}$$
$$k=\frac{\left(-\frac{b}{2} \right)}{e^{-4} }$$
$$k=\frac{\left(-\frac{b}{2} \right)}{\frac{1}{e^{4} } }$$
$$k=-\frac{b}{2} \times \frac{e^{4} }{1}$$
$$k=-\frac{be^{4} }{2}$$
Finalement : $$f\left(x\right)=-\frac{be^{4} }{2} e^{-2x} +\frac{b}{2}$$ que l'on peut aussi écrire
A l'aide de la deuxième condition $$f\left(1\right)=3$$ nous allons pouvoir déterminer la valeur de $$b$$.
$$f\left(1\right)=3$$
$$-\frac{b}{2} e^{-2\times 1+4} +\frac{b}{2} =3$$
$$-\frac{b}{2} e^{2} +\frac{b}{2} =3$$
$$\frac{b}{2} \left(-e^{2} +1\right)=3$$
$$\frac{b}{2} =\frac{3}{-e^{2} +1}$$
Il en résulte donc que :