Les équations différentielles

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

15 min
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Soit (E)\left(E\right) l'équation différentielle y=3y+6x25x+12y'=-3y+6x^{2}-5x+12 .
Question 1

Déterminer une fonction polynôme gg du second degré solution particulière de l'équation différentielle (E)\left(E\right) .

Correction
gg étant une fonction polynôme du second degré, il vient alors que : g(x)=ax2+bx+cg\left(x\right)=ax^{2} +bx+caa est un réel non nul et bb et cc deux réels.
La fonction gg est une solution de l'équation différentielle (E)\left(E\right) si et seulement si :
g(x)=3g(x)+6x25x+12g'\left(x\right)=-3g\left(x\right)+6x^{2}-5x+12
Premieˋrement :\text{\blue{Premièrement :}}
Soit g(x)=ax2+bx+cg\left(x\right)=ax^{2} +bx+c et gg est dérivable sur R\mathbb{R} . Ainsi :
g(x)=2ax+bg'\left(x\right)=2ax+b
Deuxieˋmement :\text{\blue{Deuxièmement :}}
3g(x)+6x25x+12=3(ax2+bx+c)+6x25x+12-3g\left(x\right)+6x^{2} -5x+12=-3\left(ax^{2} +bx+c\right)+6x^{2} -5x+12
3g(x)+6x25x+12=3ax23bx3c+6x25x+12-3g\left(x\right)+6x^{2} -5x+12=-3ax^{2} -3bx-3c+6x^{2} -5x+12
Troisieˋmement :\text{\blue{Troisièmement :}}
Il faut que :
g(x)=3g(x)+6x25x+12g'\left(x\right)=-3g\left(x\right)+6x^{2}-5x+12 équivaut successivement à :
2ax+b=3ax23bx3c+6x25x+122ax+b=-3ax^{2} -3bx-3c+6x^{2} -5x+12
2ax+b+3ax2+3bx+3c6x2+5x12=02ax+b+3ax^{2} +3bx+3c-6x^{2} +5x-12=0
2ax+b+3ax2+3bx+3c6x2+5x12=0\red{2a}x\purple{+b}\pink{+3a}x^{2} \red{+3b}x+\purple{3c}\pink{-6}x^{2} \red{+5}x\purple{-12}=0 . Nous avons mis en couleur les coefficients devant les x2x^{2} ; les coefficients devant les xx et les constantes.
(3a6)x2+(2a+3b+5)x+(b+3c12)=0\pink{\left(3a-6\right)}x^{2} +\red{\left(2a+3b+5\right)}x+\purple{\left(b+3c-12\right)}=0 .
Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. On obtient le système suivant :
{3a6=02a+3b+5=0b+3c12=0\left\{\begin{array}{ccc} {3a-6} & {=} & {0} \\ {2a+3b+5} & {=} & {0} \\ {b+3c-12} & {=} & {0} \end{array}\right.
{3a=62a+3b+5=0b+3c12=0\left\{\begin{array}{ccc} {3a} & {=} & {6} \\ {2a+3b+5} & {=} & {0} \\ {b+3c-12} & {=} & {0} \end{array}\right.
{a=632a+3b+5=0b+3c12=0\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {\frac{6}{3} } \\ {2a+3b+5} & {=} & {0} \\ {b+3c-12} & {=} & {0} \end{array}\right.
{a=22a+3b+5=0b+3c12=0\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {2a+3b+5} & {=} & {0} \\ {b+3c-12} & {=} & {0} \end{array}\right.
{a=22×2+3b+5=0b+3c12=0\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {2\times 2+3b+5} & {=} & {0} \\ {b+3c-12} & {=} & {0} \end{array}\right.
{a=24+3b+5=0b+3c12=0\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {4+3b+5} & {=} & {0} \\ {b+3c-12} & {=} & {0} \end{array}\right.
{a=23b=9b+3c12=0\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {3b} & {=} & {-9} \\ {b+3c-12} & {=} & {0} \end{array}\right.
{a=2b=93b+3c12=0\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {\frac{-9}{3} } \\ {b+3c-12} & {=} & {0} \end{array}\right.
{a=2b=3b+3c12=0\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-3} \\ {b+3c-12} & {=} & {0} \end{array}\right.
{a=2b=33+3c12=0\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-3} \\ {-3+3c-12} & {=} & {0} \end{array}\right.
{a=2b=33c15=0\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-3} \\ {3c-15} & {=} & {0} \end{array}\right.
{a=2b=33c=15\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-3} \\ {3c} & {=} & {15} \end{array}\right.
{a=2b=3c=153\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-3} \\ {c} & {=} & {\frac{15}{3} } \end{array}\right.
{a=2b=3c=5\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-3} \\ {c} & {=} & {5} \end{array}\right.
Il en résulte donc que la fonction polynôme gg du second degré solution particulière de l'équation différentielle (E)\left(E\right) s'écrit alors : g(x)=2x23x+5g\left(x\right)=2x^{2}-3x+5 .
Question 2

En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E)\left(E\right) .

Correction

Soit l’équation différentielle y=ay+fy'=\red{a}y+\purple{f}aa est un réel avec a0a\ne 0 et f\purple{f} une fonction définie sur un intervalle II .
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : m(x)=keax+z(x)m\left(x\right)=ke^{\red{a}x}+z\left(x\right) kk est une constante réelle et z(x)z\left(x\right) une solution particulière de l'équation y=ay+fy'=ay+f .
  • L'équation différentielle s'écrit : y=3y+6x25x+12y'=\red{-3}y+\purple{6x^{2}-5x+12} . On identifie ici que : a=3\red{a=-3} et f(x)=6x25x+12\purple{f\left(x\right)=6x^{2}-5x+12} .
    D'après la question 11, nous avons démontré que la fonction gg est une solution particulieˋre\text{\red{une solution particulière}} de l'équation différentielle (E)\left(E\right).
    Il en résulte que les solutions de l'équation différentielle (E)\left(E\right) sont alors : m(x)=ke3x+g(x)m\left(x\right)=ke^{\red{-3}x}+g\left(x\right)kk est une constante réelle.
    Finalement :
    m(x)=ke3x+2x23x+5m\left(x\right)=ke^{-3x}+2x^{2}-3x+5
    kk est une constante réelle.