Les équations différentielles

Exercices types : 11ère partie

Exercice 1

Soit (E)\left(E\right) l'équation différentielle y=3y+6x25x+12y'=-3y+6x^{2}-5x+12 .
1

Déterminer une fonction polynôme gg du second degré solution particulière de l'équation différentielle (E)\left(E\right) .

Correction
2

En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E)\left(E\right) .

Correction

Exercice 2

partie  A  :\bf\underline{partie\;A\;:}
On considère l’équation différentielle (E):y+y=ex\left(E\right) : y'+y= e^{−x} .
1

Démontrer que la fonction gg définie sur l’ensemble R\mathbb R des nombres réels par g(x)=xexg(x)=xe^{-x} est une solution de (E)\left(E\right) .

Correction
2

Résoudre l’équation différentielle (E0):y+y=0(E_0) : y'+y=0 .

Correction
3

Démontrer qu’une fonction hh, définie et dérivable sur R,\mathbb R, est solution de (E)(E) si et seulement si hgh-g est solution de (E0).(E_0).

Correction
4

En déduire toutes les solutions de (E).(E).

Correction
5

Déterminer la fonction f2,f_2, solution de (E),(E), qui prend la valeur 22 en 0.0.

Correction
partie  B  :\bf\underline{partie\;B\;:}
kk étant un nombre réel donné, on note fkf_k la fonction définie sur l’ensemble R\mathbb R par :
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquadfk(x)=(x+k)exf_k(x) = (x +k)e^{-x} .
On note Ck\mathscr{C_k} la courbe représentative de la fonction fkf_k dans un repère orthonormal (O;i;j)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)
6

Déterminer les limites de fkf_k en -\infty .

Correction
7

Déterminer les limites de fkf_k en +.+\infty.

Correction
8

Calculer fk(x)f'_k(x) pour tout réel x.x.

Correction
9

En déduire le tableau de variations de fk.f_k .

Correction
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