Fonction logarithme népérien

Variations - Exercice 4

10 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie sur [1;20]\left[1 ;20\right] par f(x)=(2−ln⁡(x))(3+4ln⁡(x))f\left(x\right)=\left(2-\ln \left(x\right)\right)\left(3+4\ln \left(x\right)\right) .
La courbe C\mathscr{C} est la représentation graphique de la fonction ff sur l’intervalle [1;20]\left[1 ;20\right].

Montrer que f′(x)=5−8ln⁡(x)xf'\left(x\right)=\frac{5-8\ln \left(x\right)}{x} .

Correction
On reconnait la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)^{'} =u'v+uv' avec u(x)=2−ln⁡(x)u\left(x\right)=2-\ln \left(x\right) et v(x)=3+4ln⁡(x)v\left(x\right)=3+4\ln \left(x\right).
Ainsi : u′(x)=−1xu'\left(x\right)=-\frac{1}{x} et v′(x)=4xv'\left(x\right)=\frac{4}{x}.
Il vient alors que :
f′(x)=−1x×(3+4ln⁡(x))+(2−ln⁡(x))×4xf'\left(x\right)=-\frac{1}{x} \times \left(3+4\ln \left(x\right)\right)+\left(2-\ln \left(x\right)\right)\times \frac{4}{x}
f′(x)=−1x×3−1x×(4ln⁡(x))+2×4x−ln⁡(x)×4xf'\left(x\right)=-\frac{1}{x} \times 3-\frac{1}{x} \times \left(4\ln \left(x\right)\right)+2\times \frac{4}{x} -\ln \left(x\right)\times \frac{4}{x}
f′(x)=−3x−4ln⁡(x)x+8x−4ln⁡(x)xf'\left(x\right)=\frac{-3}{x} -\frac{4\ln \left(x\right)}{x} +\frac{8}{x} -\frac{4\ln \left(x\right)}{x}
f′(x)=−3−4ln⁡(x)+8−4ln⁡(x)xf'\left(x\right)=\frac{-3-4\ln \left(x\right)+8-4\ln \left(x\right)}{x}
f′(x)=5−8ln⁡(x)xf'\left(x\right)=\frac{5-8\ln \left(x\right)}{x}

Question 2

Dresser le tableau de variation de ff sur [1;20]\left[1 ;20\right]. On ne vous demande pas de compléter les valeurs dans le tableau.

Correction
Pour tout réel x∈[1;20]x\in\left[1 ;20\right], on vérifie aisément que x>0x>0. Donc le signe de f′f' dépend de 5−8ln⁡(x)5-8\ln \left(x\right).
Ainsi :
5−8ln⁡(x)≥05-8\ln \left(x\right)\ge0 équivaut successivement à :
−8ln⁡(x)≥−5-8\ln \left(x\right)\ge-5
ln⁡(x)≤58\ln \left(x\right)\le \frac{5}{8}
x≤e58x\le e^{\frac{5}{8} }.
Cela signifie que l'on mettra le signe ++ pour le signe de f′f' dès que x≤e58x\le e^{\frac{5}{8} } .
Nous allons maintenant dresser le tableau de variation de ff.