Variations - Exercice 4

On reconnait la forme : $$\left(uv\right)^{'} =u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=2-\ln \left(x\right)$$ et $$v\left(x\right)=3+4\ln \left(x\right)$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-\frac{1}{x}$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{4}{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=-\frac{1}{x} \times \left(3+4\ln \left(x\right)\right)+\left(2-\ln \left(x\right)\right)\times \frac{4}{x}$$
$$f'\left(x\right)=-\frac{1}{x} \times 3-\frac{1}{x} \times \left(4\ln \left(x\right)\right)+2\times \frac{4}{x} -\ln \left(x\right)\times \frac{4}{x}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-3}{x} -\frac{4\ln \left(x\right)}{x} +\frac{8}{x} -\frac{4\ln \left(x\right)}{x}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-3-4\ln \left(x\right)+8-4\ln \left(x\right)}{x}$$

Pour tout réel $$x\in\left[1 ;20\right]$$, on vérifie aisément que $$x>0$$. Donc le signe de $$f'$$ dépend de $$5-8\ln \left(x\right)$$.
Ainsi :
$$5-8\ln \left(x\right)\ge0$$ équivaut successivement à :
$$-8\ln \left(x\right)\ge-5$$
$$\ln \left(x\right)\le \frac{5}{8}$$
$$x\le e^{\frac{5}{8} }$$.
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$f'$$ dès que $$x\le e^{\frac{5}{8} }$$ .
Nous allons maintenant dresser le tableau de variation de $$f$$.