Variations - Exercice 3

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 0^{+} } -4\ln \left(x\right)} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to 0^{+} } x-5} & {=} & {-5} \end{array}\right\}{\text{par somme}}$$Interprétation graphique : la courbe $$C_{f}$$ admet une asymptote verticale d'équation $$x=0$$.

Soit $$f\left(x\right)=x-5-4\ln \left(x\right)$$ .
$$f$$ est dérivable sur $$\left]0;15 \right]$$.
On a :
$$f'\left(x\right)=1-\frac{4}{x}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{x}{x} -\frac{4}{x}$$
Ainsi :

D'après la question précédente, nous savons que : $$f'\left(x\right)=\frac{x-4}{x}$$
Pour tout réel $$x\in\left]0;15 \right]$$, on vérifie aisément que $$x>0$$. Le signe de $$f'$$ dépend alors de $$x-4$$.
$$x-4\ge 0\Leftrightarrow x\ge 4$$ .
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$x-4$$ dès que $$x\ge 4$$ . On en déduit le tableau de variation suivant :

Ici $$a=e$$, ce qui donne, $$y=f'\left(e\right)\left(x-e\right)+f\left(e\right)$$.
1^ère étape : calculer $$f\left(e\right)$$
$$f\left(e\right)=e-5-4\ln \left(e\right)$$
$$f\left(e\right)=e-5-4$$
$$f\left(e\right)=e-9$$
2^ème étape : calculer $$f'\left(e\right)$$
$$f'\left(e\right)=\frac{e-4}{e}$$
3^ème étape : on remplace les valeurs de $$f\left(e\right)$$ et de $$f'\left(e\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(e\right)\left(x-e\right)+f\left(e\right)$$
$$y=\left(\frac{e-4}{e}\right)\times \left(x-e\right)+e-9$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$C_{f}$$ au point d'abscisse $$e$$ est alors : .