Variations de dérivées composées - Exercice 1

La fonction $$f$$ est définie si et seulement si $$-x+6>0\Leftrightarrow x<6$$.
Ainsi le domaine de définition est $$Df=\left]-\infty ;6\right[$$.
De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi $$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;6\right[$$.
On reconnait la forme $$\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}$$
On a $$u\left(x\right)=-x+6$$ et $$u'\left(x\right)=-1$$
Ainsi $$f'\left(x\right)=3\times \frac{-1}{-x+6} +2$$ , on va tout mettre au même dénominateur pour étudier le signe de $$f'$$.
$$f'\left(x\right)=3\times \frac{-1}{-x+6} +2\Leftrightarrow f'\left(x\right)=\frac{-3+2\left(-x+6\right)}{-x+6} \Leftrightarrow f'\left(x\right)=\frac{-3-2x+12}{-x+6}$$
Finalement
Comme $$x\in \left]-\infty ;6\right[$$ alors $$-x+6>0$$
On cherche aussi le signe de $$-2x+9$$. Ainsi $$-2x+9\ge 0\Leftrightarrow x\le \frac{9}{2}$$.
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$-2x+9$$ dès que $$x\le \frac{9}{2}$$
On traduit ces informations dans un tableau de variation

Comme pour tout réel $$x$$, on sait que $$e^{x} >0$$
La fonction $$f$$ est définie si et seulement si $$1+e^{x} >0\Leftrightarrow x\in \mathbb{R}$$.
Ainsi le domaine de définition est $$Df=\left]-\infty ;+\infty \right[$$.
De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi $$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$.
On reconnait la forme $$\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}$$
On a $$u\left(x\right)=1+e^{x}$$ et $$u'\left(x\right)=e^{x}$$
Ainsi
Comme pour tout réel$$x$$, on sait que $$e^{x} >0$$ et que $$e^{x} +1>0$$, on dresse le tableau de variation, ci-dessous

La fonction $$f$$ est définie si et seulement si $$x^{2} +4>0\Leftrightarrow x\in \mathbb{R}$$.
Ainsi le domaine de définition est $$Df=\left]-\infty ;+\infty \right[$$.
De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi $$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$.
On reconnait la forme $$\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}$$
On a $$u\left(x\right)=x^{2} +4$$ et $$u'\left(x\right)=2x$$
Ainsi , on va tout mettre au même dénominateur pour étudier le signe de $$f'$$.
$$f'\left(x\right)=\frac{2x}{x^{2} +4} +1\Leftrightarrow f'\left(x\right)=\frac{2x+x^{2} +4}{x^{2} +4} \Leftrightarrow$$
Pour tout réel $$x$$~on sait que $$x^{2} +4>0$$.
Pour étudier le signe de $$2x+x^{2} +4$$, on utilise le discriminant.
$$\Delta =-12<0$$, il n'y a pas de racines réelles. Ainsi $$2x+x^{2} +4>0$$.
On résume tout cela dans un tableau de variation

La fonction $$f$$ est définie si et seulement si $$\ln \left(x\right)>0\Leftrightarrow \ln \left(x\right)>\ln \left(1\right)\Leftrightarrow x>1$$.
Ainsi le domaine de définition est $$Df=\left]1;+\infty \right[$$.
De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi $$f$$ est dérivable sur $$\left]1;+\infty \right[$$.
On reconnait la forme $$\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}$$
On a $$u\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$ et $$u'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$
Ainsi $$f'\left(x\right)=\frac{\left(\frac{1}{x} \right)}{\ln \left(x\right)} \Leftrightarrow$$
Le numérateur est positif, le signe de $$f'$$ est alors du signe du dénominateur $$x\ln \left(x\right)$$.
Comme $$x\in \left]1;+\infty \right[$$ alors $$x>0$$.
On cherche à savoir le signe de $$\ln \left(x\right)$$, ainsi $$\ln \left(x\right)>0\Leftrightarrow \ln \left(x\right)>\ln \left(1\right)\Leftrightarrow x>1$$.
On résume tout cela dans un tableau de variation