Fonction logarithme népérien

Résoudre une inéquation avec des logarithmes - Exercice 2

12 min
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Soit nn un entier naturel, résoudre les inéquations suivantes.
Question 1

2n≥20162^{n} \ge 2016

Correction
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
2n≥2016⇔ln⁡(2n)≥ln⁡(2016)⇔nln⁡(2)≥ln⁡(2016).2^{n} \ge 2016\Leftrightarrow \ln \left(2^{n} \right)\ge \ln \left(2016\right)\Leftrightarrow n\ln \left(2\right)\ge \ln \left(2016\right).
Or ln⁡(2)>0\ln \left(2\right)>0.
D'où n≥ln⁡(2016)ln⁡(2)n\ge \frac{\ln \left(2016\right)}{\ln \left(2\right)} .
On cherche la valeur de ln⁡(2016)ln⁡(2)\frac{\ln \left(2016\right)}{\ln \left(2\right)} à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
n≥11n\ge 11
(à la calculatrice on obtient ln⁡(2016)ln⁡(2)≈10,977\frac{\ln \left(2016\right)}{\ln \left(2\right)} \approx 10,977 et on arrondi à l'entier supérieur).
Question 2

5n≥2195^{n} \ge 219

Correction
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
5n≥219⇔ln⁡(5n)≥ln⁡(219)⇔nln⁡(5)≥ln⁡(219).5^{n} \ge 219\Leftrightarrow \ln \left(5^{n} \right)\ge \ln \left(219\right)\Leftrightarrow n\ln \left(5\right)\ge \ln \left(219\right).
Or ln⁡(5)>0\ln \left(5\right)>0.
D'où n≥ln⁡(219)ln⁡(5)n\ge \frac{\ln \left(219\right)}{\ln \left(5\right)} .
On cherche la valeur de ln⁡(219)ln⁡(5)\frac{\ln \left(219\right)}{\ln \left(5\right)} à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
n≥4n\ge 4
(à la calculatrice on obtient ln⁡(219)ln⁡(5)≈3,348\frac{\ln \left(219\right)}{\ln \left(5\right)} \approx 3,348 et on arrondi à l'entier supérieur)
Question 3

(0,4)n≤10−6\left(0,4\right)^{n} \le 10^{-6}

Correction
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
(0,4)n≤10−6⇔ln⁡((0,4)n)≤ln⁡(10−6)⇔nln⁡(0,4)≤ln⁡(10−6).\left(0,4\right)^{n} \le 10^{-6} \Leftrightarrow \ln \left(\left(0,4\right)^{n} \right)\le \ln \left(10^{-6} \right)\Leftrightarrow n\ln \left(0,4\right)\le \ln \left(10^{-6} \right).
Or ln⁡(0,4)<0\ln \left(0,4\right)<0.
D'où n≥ln⁡(10−6)ln⁡(0,4)n\ge \frac{\ln \left(10^{-6} \right)}{\ln \left(0,4\right)} .
On cherche la valeur de ln⁡(10−6)ln⁡(0,4)\frac{\ln \left(10^{-6} \right)}{\ln \left(0,4\right)} à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
n≥16n\ge 16
(à la calculatrice on obtient ln⁡(10−6)ln⁡(0,4)≈15,077\frac{\ln \left(10^{-6} \right)}{\ln \left(0,4\right)} \approx 15,077 et on arrondi à l'entier supérieur)
Question 4

(ln⁡3)n≥e5\left(\ln 3\right)^{n} \ge e^{5}

Correction
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
(ln⁡3)n≥e5⇔ln⁡((ln⁡3)n)≥ln⁡(e5)⇔nln⁡((ln⁡3))≥ln⁡(e5)\left(\ln 3\right)^{n} \ge e^{5} \Leftrightarrow \ln \left(\left(\ln 3\right)^{n} \right)\ge \ln \left(e^{5} \right)\Leftrightarrow n\ln \left(\left(\ln 3\right)\right)\ge \ln \left(e^{5} \right). Or ln⁡((ln⁡3))>0\ln \left(\left(\ln 3\right)\right)>0. D'où
n≥ln⁡(e5)ln⁡((ln⁡3))n\ge \frac{\ln \left(e^{5} \right)}{\ln \left(\left(\ln 3\right)\right)} . On cherche la valeur de ln⁡(e5)ln⁡((ln⁡3))\frac{\ln \left(e^{5} \right)}{\ln \left(\left(\ln 3\right)\right)} à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
n≥54n\ge 54
(à la calculatrice on obtient ln⁡(e5)ln⁡((ln⁡3))≈53,164\frac{\ln \left(e^{5} \right)}{\ln \left(\left(\ln 3\right)\right)} \approx 53,164 et on arrondi à l'entier supérieur)