Résoudre une inéquation avec des logarithmes - Exercice 1

L'inéquation est définie si et seulement si $$x>0$$
Ainsi le domaine de définition est
$$\ln \left(x\right)>1\Leftrightarrow \ln \left(x\right)>\ln \left(e\right)\Leftrightarrow x>e$$
Le domaine de définition impose que $$x>0$$ et l'inéquation est vraie si $$x>e$$. On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle

L'inéquation est définie si et seulement si : $$-2x+2>0\Leftrightarrow -2x>-2\Leftrightarrow x<\frac{-2}{-2} \Leftrightarrow x<1$$
Ainsi le domaine de définition est
$$\ln \left(-2x+2\right)\ge 0\Leftrightarrow \ln \left(-2x+2\right)\ge \ln \left(1\right)\Leftrightarrow -2x+2\ge 1\Leftrightarrow -2x\ge-1\Leftrightarrow x\le\frac{-1}{-2} \Leftrightarrow x\le\frac{1}{2}$$
Le domaine de définition impose que $$x<1$$ et l'inéquation est vraie si $$x\le \frac{1}{2}$$.
On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle

L'inéquation est définie si et seulement si $$\left\{\begin{array}{c} {-2x+2>0} \\ {\text{ et }} \\ {x+4>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x<1} \\ {\text{ et }} \\ {x>-4} \end{array}\right.$$
Ainsi le domaine de définition est
$$\ln \left(-2x+2\right)\ge \ln \left(x+4\right)$$
$$-2x+2\ge x+4$$
$$-2x-x\ge 4-2$$
$$-3x\ge 2$$
$$x\le \frac{2}{-3}$$
$$x\le -\frac{2}{3}$$
Le domaine de définition impose que $$-4<x<1$$ et l'inéquation est vraie si $$x\le -\frac{2}{3}$$. On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle

L'inéquation est définie si et seulement si $$\left\{\begin{array}{c} {x^{2} >0} \\ {\text{ et }} \\ {4x-3>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x\in \left]-\infty ;0\right[\cup \left]0;+\infty \right[} \\ {\text{ et }} \\ {x>\frac{3}{4} } \end{array}\right.$$
On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition est
$$\ln \left(x^{2} \right)\le\ln \left(4x-3\right)\Leftrightarrow x^{2} \le4x-3\Leftrightarrow x^{2} -4x+3\le 0$$
Pour résoudre l'inéquation $$x^{2} -4x+3\le 0$$, on utilise le discriminant. $$\Delta =4$$; $$x_{1} =1$$ et $$x_{2} =3$$L'inéquation $$x^{2} -4x+3\le 0$$ est vraie si $$x\in \left[1;3\right]$$
Le domaine de définition impose que $$x\in \left]\frac{3}{4} ;+\infty \right[$$ et l'inéquation est vraie si $$x\in \left[1;3\right]$$
On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :

L'inéquation est définie si et seulement si $$\left\{\begin{array}{c} {-2x+2>0} \\ {\text{ et }} \\ {2x>0} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x<1} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \end{array}\right.$$
On fait l'intersection des trois intervalles, ainsi le domaine de définition est
$$\ln \left(-2x+2\right)+\ln \left(2x\right)\le \ln \left(x\right)\Leftrightarrow \ln \left(2x\times \left(-2x+2\right)\right)\le \ln \left(x\right)\Leftrightarrow -4x^{2} +4x\le x\Leftrightarrow -4x^{2} +3x\le 0$$
Pour résoudre l'inéquation $$-4x^{2} +3x\le 0$$, on utilise le discriminant. $$\Delta =9$$ ; $$x_{1} =0$$ et $$x_{2} =\frac{3}{4}$$L'inéquation $$-4x^{2} +3x\le 0$$ est vraie si $$x\in \left]-\infty ;0\right]\cup \left[\frac{3}{4} ;+\infty \right[$$.
Le domaine de définition impose que $$x\in \left]0;1\right[$$ et l'inéquation est vraie si $$x\in \left]-\infty ;0\right]\cup \left[\frac{3}{4} ;+\infty \right[$$ . On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation $$\ln \left(-2x+2\right)+\ln \left(2x\right)\le \ln \left(x\right)$$ sont sur l'intervalle

L'inéquation est définie si et seulement si $$\left\{\begin{array}{c} {1+\frac{2}{x} >0} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x\in \left]-2;0\right[\cup \left]0;+\infty \right[} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \end{array}\right.$$
On fait l'intersection des deux intervalles , ainsi le domaine de définition est
$$\ln \left(1+\frac{2}{x} \right)<\ln \left(x\right)\Leftrightarrow 1+\frac{2}{x} <x$$, on va tout mettre au même dénominateur.
$$1+\frac{2}{x} <x\Leftrightarrow \frac{x}{x} +\frac{2}{x} <\frac{x^{2} }{x} \Leftrightarrow \frac{-x^{2} +x+2}{x} <0$$
Comme $$x\in \left]0;+\infty \right[$$, le signe de $$\frac{-x^{2} +x+2}{x}$$ dépend du dénominateur $$-x^{2} +x+2$$. On utilise le discriminant $$\Delta =9$$ ; $$x_{1} =-1$$ et $$x_{2} =2$$$$-x^{2} +x+2<0\Leftrightarrow x\in \left]-\infty ;-1\right[\cup \left]2;+\infty \right[ .$$
Autrement dit : $$\frac{-x^{2} +x+2}{x} <0\Leftrightarrow x\in \left]-\infty ;-1\right[\cup \left]2;+\infty \right[$$
Le domaine de définition impose que $$x\in \left]0;+\infty \right[$$ et l'inéquation est vraie si $$x\in \left]-\infty ;-1\right[\cup \left]2;+\infty \right[$$ .On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation $$\ln \left(1+\frac{2}{x} \right)<\ln \left(x\right)$$ sont sur l'intervalle

L'inéquation est définie si et seulement si $$\left\{\begin{array}{c} {x>0} \\ {\text{ et }} \\ {x^{2} +3>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>0} \\ {\text{ et }} \\ {x\in \left]-\infty ;+\infty \right[} \end{array}\right.$$
On fait l'intersection des trois intervalles, ainsi le domaine de définition est
$$2\ln \left(x\right)+\ln \left(3\right)\ge \ln \left(x^{2} +3\right)\Leftrightarrow \ln \left(x^{2} \right)+\ln \left(3\right)\ge \ln \left(x^{2} +3\right)\Leftrightarrow 3x^{2} \ge x^{2} +3\Leftrightarrow 2x^{2} -3\ge 0$$
Pour résoudre l'inéquation $$2x^{2} -3\ge 0$$, on utilise le discriminant.
$$\Delta =24$$ ; $$x_{1} =-\frac{\sqrt{6} }{2}$$ et $$x_{2} =\frac{\sqrt{6} }{2}$$L'inéquation $$2x^{2} -3\ge 0$$ est vraie si $$x\in \left]-\infty ;\frac{-\sqrt{6} }{2} \right]\cup \left[\frac{\sqrt{6} }{2} ;+\infty \right[$$.
Le domaine de définition impose que $$x\in \left]0;+\infty \right[$$ et l'inéquation est vraie si $$x\in \left]-\infty ;\frac{-\sqrt{6} }{2} \right]\cup \left[\frac{\sqrt{6} }{2} ;+\infty \right[$$
On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation $$2\ln \left(x\right)+\ln \left(3\right)\ge \ln \left(x^{2} +3\right)$$ sont sur l'intervalle