Résoudre une inéquation avec des logarithmes

L'inéquation est définie si et seulement si $x>0$
Ainsi le domaine de définition est
$\ln \left(x\right)>1\Leftrightarrow \ln \left(x\right)>\ln \left(e\right)\Leftrightarrow x>e$
Le domaine de définition impose que $x>0$ et l'inéquation est vraie si $x>e$. On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle

L'inéquation est définie si et seulement si : $-2x+2>0\Leftrightarrow -2x>-2\Leftrightarrow x<\frac{-2}{-2} \Leftrightarrow x<1$
Ainsi le domaine de définition est
$\ln \left(-2x+2\right)\ge 0\Leftrightarrow \ln \left(-2x+2\right)\ge \ln \left(1\right)\Leftrightarrow -2x+2\ge 1\Leftrightarrow -2x\ge-1\Leftrightarrow x\le\frac{-1}{-2} \Leftrightarrow x\le\frac{1}{2}$
Le domaine de définition impose que $x<1$ et l'inéquation est vraie si $x\le \frac{1}{2}$.
On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle

L'inéquation est définie si et seulement si $\left\{\begin{array}{c} {-2x+2>0} \\ {\text{ et }} \\ {x+4>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x<-1} \\ {\text{ et }} \\ {x>-4} \end{array}\right.$
Ainsi le domaine de définition est
$\ln \left(-2x+2\right)\ge \ln \left(x+4\right)$
$-2x+2\ge x+4$
$-2x-x\ge 4-2$
$-3x\ge 2$
$x\le \frac{2}{-3}$
$x\le \frac{-2}{3}$
Le domaine de définition impose que $-4<x<-1$ et l'inéquation est vraie si $x\le \frac{-2}{3}$. On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle

L'inéquation est définie si et seulement si $\left\{\begin{array}{c} {x^{2} >0} \\ {\text{ et }} \\ {4x-3>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x\in \left]-\infty ;0\right[\cup \left]0;+\infty \right[} \\ {\text{ et }} \\ {x>\frac{3}{4} } \end{array}\right.$
On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition est
$\ln \left(x^{2} \right)<\ln \left(4x-3\right)\Leftrightarrow x^{2} <4x-3\Leftrightarrow x^{2} -4x+3\le 0$
Pour résoudre l'inéquation $x^{2} -4x+3\le 0$, on utilise le discriminant. $\Delta =4$; $x_{1} =1$ et $x_{2} =3$L'inéquation $x^{2} -4x+3\le 0$ est vraie si $x\in \left[1;3\right]$
Le domaine de définition impose que $x\in \left]\frac{3}{4} ;+\infty \right[$ et l'inéquation est vraie si $x\in \left[1;3\right]$
On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :

L'inéquation est définie si et seulement si $\left\{\begin{array}{c} {-2x+2>0} \\ {\text{ et }} \\ {2x>0} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x<1} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \end{array}\right.$
On fait l'intersection des trois intervalles, ainsi le domaine de définition est
$\ln \left(-2x+2\right)+\ln \left(2x\right)\le \ln \left(x\right)\Leftrightarrow \ln \left(2x\times \left(-2x+2\right)\right)\le \ln \left(x\right)\Leftrightarrow -4x^{2} +4x\le x\Leftrightarrow -4x^{2} +3x\le 0$
Pour résoudre l'inéquation $-4x^{2} +3x\le 0$, on utilise le discriminant. $\Delta =16$ ; $x_{1} =0$ et $x_{2} =\frac{3}{4}$L'inéquation $-4x^{2} +3x\le 0$ est vraie si $x\in \left]-\infty ;0\right]\cup \left[\frac{3}{4} ;+\infty \right[$.
Le domaine de définition impose que $x\in \left]0;1\right[$ et l'inéquation est vraie si $x\in \left]-\infty ;0\right]\cup \left[\frac{3}{4} ;+\infty \right[$ . On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation $\ln \left(-2x+2\right)+\ln \left(2x\right)\le \ln \left(x\right)$ sont sur l'intervalle

L'inéquation est définie si et seulement si $\left\{\begin{array}{c} {1+\frac{2}{x} >0} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x\in \left]-2;0\right[\cup \left]0;+\infty \right[} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \end{array}\right.$
On fait l'intersection des deux intervalles , ainsi le domaine de définition est
$\ln \left(1+\frac{2}{x} \right)<\ln \left(x\right)\Leftrightarrow 1+\frac{2}{x} <x$, on va tout mettre au même dénominateur.
$1+\frac{2}{x} <x\Leftrightarrow \frac{x}{x} +\frac{2}{x} <\frac{x^{2} }{x} \Leftrightarrow \frac{-x^{2} +x+2}{x} <0$
Comme $x\in \left]0;+\infty \right[$, le signe de $\frac{-x^{2} +x+2}{x}$ dépend du dénominateur $-x^{2} +x+2$. On utilise le discriminant $\Delta =9$ ; $x_{1} =-1$ et $x_{2} =2$$-x^{2} +x+2<0\Leftrightarrow x\in \left]-\infty ;-1\right[\cup \left]2;+\infty \right[ .$
Autrement dit : $\frac{-x^{2} +x+2}{x} <0\Leftrightarrow x\in \left]-\infty ;-1\right[\cup \left]2;+\infty \right[$
Le domaine de définition impose que $x\in \left]0;+\infty \right[$ et l'inéquation est vraie si $x\in \left]-\infty ;-1\right[\cup \left]2;+\infty \right[$ .On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation $\ln \left(1+\frac{2}{x} \right)<\ln \left(x\right)$ sont sur l'intervalle

L'inéquation est définie si et seulement si $\left\{\begin{array}{c} {x>0} \\ {\text{ et }} \\ {x^{2} +3>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>0} \\ {\text{ et }} \\ {x\in \left]-\infty ;+\infty \right[} \end{array}\right.$
On fait l'intersection des trois intervalles, ainsi le domaine de définition est
$2\ln \left(x\right)+\ln \left(3\right)\ge \ln \left(x^{2} +3\right)\Leftrightarrow \ln \left(x^{2} \right)+\ln \left(3\right)\ge \ln \left(x^{2} +3\right)\Leftrightarrow 3x^{2} \ge x^{2} +3\Leftrightarrow 2x^{2} -3\ge 0$
Pour résoudre l'inéquation $2x^{2} -3\ge 0$, on utilise le discriminant.
$\Delta =24$ ; $x_{1} =-\frac{\sqrt{6} }{2}$ et $x_{2} =\frac{\sqrt{6} }{2}$L'inéquation $2x^{2} -3\ge 0$ est vraie si $x\in \left]-\infty ;\frac{-\sqrt{6} }{2} \right]\cup \left[\frac{\sqrt{6} }{2} ;+\infty \right[$.
Le domaine de définition impose que $x\in \left]0;+\infty \right[$ et l'inéquation est vraie si $x\in \left]-\infty ;\frac{-\sqrt{6} }{2} \right]\cup \left[\frac{\sqrt{6} }{2} ;+\infty \right[$
On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation $2\ln \left(x\right)+\ln \left(3\right)\ge \ln \left(x^{2} +3\right)$ sont sur l'intervalle

$2^{n} \ge 2016\Leftrightarrow \ln \left(2^{n} \right)\ge \ln \left(2016\right)\Leftrightarrow n\ln \left(2\right)\ge \ln \left(2016\right).$
Or $\ln \left(2\right)>0$.
D'où $n\ge \frac{\ln \left(2016\right)}{\ln \left(2\right)}$.
On cherche la valeur de $\frac{\ln \left(2016\right)}{\ln \left(2\right)}$à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
(à la calculatrice on obtient $\frac{\ln \left(2016\right)}{\ln \left(2\right)} \approx 10,977$ et on arrondi à l'entier supérieur).

$5^{n} \ge 219\Leftrightarrow \ln \left(5^{n} \right)\ge \ln \left(219\right)\Leftrightarrow n\ln \left(5\right)\ge \ln \left(219\right).$
Or $\ln \left(5\right)>0$.
D'où $n\ge \frac{\ln \left(219\right)}{\ln \left(5\right)}$.
On cherche la valeur de $\frac{\ln \left(219\right)}{\ln \left(5\right)}$à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
(à la calculatrice on obtient $\frac{\ln \left(219\right)}{\ln \left(5\right)} \approx 3,348$ et on arrondi à l'entier supérieur)

$\left(0,4\right)^{n} \le 10^{-6} \Leftrightarrow \ln \left(\left(0,4\right)^{n} \right)\le \ln \left(10^{-6} \right)\Leftrightarrow n\ln \left(0,4\right)\le \ln \left(10^{-6} \right).$
Or $\ln \left(0,4\right)<0$.
D'où $n\ge \frac{\ln \left(10^{-6} \right)}{\ln \left(0,4\right)}$.
On cherche la valeur de $\frac{\ln \left(10^{-6} \right)}{\ln \left(0,4\right)}$à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
(à la calculatrice on obtient $\frac{\ln \left(10^{-6} \right)}{\ln \left(0,4\right)} \approx 15,077$ et on arrondi à l'entier supérieur)

$\left(\ln 3\right)^{n} \ge e^{5} \Leftrightarrow \ln \left(\left(\ln 3\right)^{n} \right)\ge \ln \left(e^{5} \right)\Leftrightarrow n\ln \left(\left(\ln 3\right)\right)\ge \ln \left(e^{5} \right)$. Or $\ln \left(\left(\ln 3\right)\right)>0$. D'où
$n\ge \frac{\ln \left(e^{5} \right)}{\ln \left(\left(\ln 3\right)\right)}$. On cherche la valeur de $\frac{\ln \left(e^{5} \right)}{\ln \left(\left(\ln 3\right)\right)}$à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
(à la calculatrice on obtient $\frac{\ln \left(e^{5} \right)}{\ln \left(\left(\ln 3\right)\right)} \approx 53,164$ et on arrondi à l'entier supérieur)

$P\left(-2\right)=2\left(-2\right)^{3} -6\left(-2\right)^{2} -12\left(-2\right)+16$ équivaut successivement à
$P\left(-2\right)=-16-24+24+16$

On va débuter par développer l'expression $P\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(ax^{2} +bx+c\right)$
$P\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(ax^{2} +bx+c\right)\Leftrightarrow P\left(x\right)=ax^{3} +bx^{2} +cx+2ax^{2} +2bx+2c$
Ainsi $P\left(x\right)=ax^{3} +x^{2} \left(b+2a\right)+x\left(c+2b\right)+2c$
Il faut que :
$P\left(x\right)={\color{blue}a}x^{3} +x^{2} \left({\color{red}b+2a}\right)+x\left({\color{purple}c+2b}\right)+{\color{darkgreen}2c}$ soit égal à $P\left(x\right)={\color{blue}2}x^{3}{\color{red}-6} x^{2} {\color{purple}-12}x+{\color{darkgreen}16}$.
Deux polynômes sont égaux si et seulement leurs coefficients respectifs sont égaux.
Par identification, on obtient le système suivant
$\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{blue}a}} & {=} & {{\color{blue}2}} \\ {{\color{red}b+2a}} & {=} & {{\color{red}-6}} \\ {{\color{purple}c+2b}} & {=} & {{\color{purple}-12}} \\ {{\color{darkgreen}2c}} & {=} & {{\color{darkgreen}16}} \end{array}\right.$ Il en résulte que $\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-10} \\ {b} & {=} & {-10} \\ {c} & {=} & {8} \end{array}\right.$
Il vient alors que

Il s'agit d'une équation produit nul.
$P\left(x\right)=0\Leftrightarrow P\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(2x^{2} -10x+8\right)=0\Leftrightarrow x+2=0$ et $2x^{2} -10x+8=0$
$x+2=0\Leftrightarrow x=-2$
$2x^{2} -10x+8=0$ on utilise ici le discriminant $\Delta =36$
$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} =1$ et $x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} =4$
Les solutions de l'équation $P\left(x\right)=0$ sont alors :

$P\left(x\right)\ge 0\Leftrightarrow \left(x+2\right)\left(2x^{2} -10x+8\right)\ge 0.$
On va dresser le tableau de signe de cette inéquation.

Ainsi :

L'inéquation est définie si et seulement si $\left\{\begin{array}{c} {x>0} \\ {\text{ et }} \\ {2x-6>0} \\ {\text{ et }} \\ {6x-8>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>0} \\ {\text{ et }} \\ {x>3} \\ {\text{ et }} \\ {x>\frac{4}{3} } \end{array}\right.$
Ainsi le domaine de définition pour cette inéquation est $Df=\left]3;+\infty \right[$
Simplifions puis résolvons cette inéquation.
$2\ln \left(x\right)+\ln \left(2x-6\right)\ge \ln \left(2\right)+\ln \left(6x-8\right)$ équivaut successivement à
$\ln \left(x^{2} \right)+\ln \left(2x-6\right)\ge \ln \left(2\times \left(6x-8\right)\right)$
$\ln \left(x^{2} \left(2x-6\right)\right)\ge \ln \left(12x-16\right)$
Il vient alors que :
$\ln \left(x^{2} \left(2x-6\right)\right)\ge \ln \left(12x-16\right)$ équivaut successivement à
$x^{2} \left(2x-6\right)\ge 12x-16$
$2x^{3} -6x^{2} -12x+16\ge 0$.
Cette inéquation a été résolu à la question $4$.
Le domaine de définition impose que $x\in \left]3;+\infty \right[$ et l'inéquation est vraie si $x\in \left[-2;1\right]\cup \left[4;+\infty \right[$
On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :

$\blue{\text{Dans un premier temps,}}$ nous allons chercher les racines de la fonction du second degré suivante : $x\mapsto-3x^{2}+9x-30$
On utilise le discriminant .
Il existe donc deux racines réelles distinctes notées $x_{1}$ et $x_{2}$ tels que $x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ et $x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$
$x_{1} =5$ et $x_{2} =-2$.
Avec un rappel de première, nous allons pouvoir factoriser la fonction $x\mapsto-3x^{2}+9x-30$
Il en résulte donc que nous pouvons écrire $x\mapsto -3\left(x-5 \right)\left(x+2 \right)$
$\blue{\text{Dans un deuxième temps}}$, nous voulons résoudre l'inéquation : $-3\left(\ln \left(x\right)\right)^{2} +9\ln \left(x\right)-30\ge0$ . Soit $x$ un réel strictement positif.
On commence par un changement de variable. On pose $X=\ln \left(x\right)$. Il vient alors que :
$-3X^{2} +9X-30\ge0$. Nous sommes en mesure maintenant de factoriser cette expression comme vue au début de la question. Cela nous donne :
$-3\left(X-5 \right)\left(X+2 \right)\ge0$ . Or nous avons posé comme changement de variable $X=\ln \left(x\right)$.
Ainsi, nous obtenons :
$-3\left(\ln \left(x\right)-5 \right)\left(\ln \left(x\right)+2 \right)\ge0$ . Pour résoudre cette inéquation, nous allons dresser un tableau de signe.

$\red{\text{D'une part :}}$

$\ln \left(x\right)-5\ge 0\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\ge 5\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\ge \ln \left(e^{5} \right)\Leftrightarrow x\ge e^{5}$
(On commencera dans la ligne $\ln \left(x\right)-5$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x\ge e^{5}$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

$\red{\text{D'autre part :}}$

$\ln \left(x\right)+2\ge 0\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\ge -2\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\ge \ln \left(e^{-2} \right)\Leftrightarrow x\ge e^{-2}$
(On commencera dans la ligne $\ln \left(x\right)+2$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x\ge e^{-2}$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

$\red{\text{Enfin :}}$ $-3$ est strictement négatif. On mettra que le signe $\left(-\right)$ dans la ligne de $-3$.

Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Finalement, les solutions de l'inéquation $-3\left(\ln \left(x\right)\right)^{2} +9\ln \left(x\right)+30\ge0$ sont les mêmes que les solutions de l'inéquation $-3\left(\ln \left(x\right)-5 \right)\left(\ln \left(x\right)+2 \right)\ge0$ .
D'après le tableau de signe, on a alors :