Fonction logarithme népérien

Résoudre une équation un peu sympathique - Exercice 1

5 min
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Question 1
Soit xx un réel strictement positif .

Résoudre l'équation suivante : ln(x2)ln(x5e)+ln(2)=ln(2x)+5\ln \left(x^{2} \right)-\ln \left(\frac{x^{5} }{e} \right)+\ln \left(2\right)=\ln \left(2x\right)+5

Correction
  • ln(a)+ln(b)=ln(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln(a)ln(b)=ln(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln(1a)=ln(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln(an)=nln(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln(a)=ln(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • elna=ae^{\ln a} =a
ln(x2)ln(x5e)+ln(2)=ln(2x)+5\ln \left(x^{2} \right)-\ln \left(\frac{x^{5} }{e} \right)+\ln \left(2\right)=\ln \left(2x\right)+5 équivaut successivement à :
ln(x2)(ln(x5)ln(e))+ln(2)=ln(2x)+5\ln \left(x^{2} \right)-\left(\ln \left(x^{5} \right)-\ln \left(e\right)\right)+\ln \left(2\right)=\ln \left(2x\right)+5
ln(x2)(ln(x5)1)+ln(2)=ln(2x)+5\ln \left(x^{2} \right)-\left(\ln \left(x^{5} \right)-1\right)+\ln \left(2\right)=\ln \left(2x\right)+5
ln(x2)ln(x5)+1+ln(2)=ln(2x)+5\ln \left(x^{2} \right)-\ln \left(x^{5} \right)+1+\ln \left(2\right)=\ln \left(2x\right)+5
2ln(x)5ln(x)+1+ln(2)=ln(2x)+52\ln \left(x\right)-5\ln \left(x\right)+1+\ln \left(2\right)=\ln \left(2x\right)+5
3ln(x)+1+ln(2)=ln(2x)+5-3\ln \left(x\right)+1+\ln \left(2\right)=\ln \left(2x\right)+5
3ln(x)+1+ln(2)=ln(2)+ln(x)+5-3\ln \left(x\right)+1+\ln \left(2\right)=\ln \left(2\right)+\ln \left(x\right)+5
3ln(x)+1+ln(2)ln(2)ln(x)5=0-3\ln \left(x\right)+1+\ln \left(2\right)-\ln \left(2\right)-\ln \left(x\right)-5=0
4ln(x)4=0-4\ln \left(x\right)-4=0
4ln(x)=4-4\ln \left(x\right)=4
ln(x)=44\ln \left(x\right)=\frac{4}{-4}
ln(x)=1\ln \left(x\right)=-1
eln(x)=e1e^{\ln \left(x\right)} =e^{-1}
x=e1x=e^{-1}

La solution de l'équation est : S={e1}S=\left\{e^{-1} \right\}