Résoudre une équation avec des logarithmes - Exercice 5

Soient $$x$$ et $$y$$ deux réels strictement positifs.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x+y} & {=} & {4} \\ {\ln \left(x\right)+\ln \left(y\right)} & {=} & {\ln \left(3\right)} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x+y} & {=} & {4} \\ {\ln \left(x\times y\right)} & {=} & {\ln \left(3\right)} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x+y} & {=} & {4} \\ {x\times y} & {=} & {3} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {4-x} \\ {x\times y} & {=} & {3} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {4-x} \\ {x\times \left(4-x\right)} & {=} & {3} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {4-x} \\ {4x-x^2} & {=} & {3} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {4-x} \\ {4x-x^2-3} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
Il nous faut résoudre l'équation du second degré : $$-x^2+4x-3=0$$
$$\Delta >0$$ . Il y a deux racines réelles : $$x_1=1$$ et $$x_2=3$$
Nous savons que : $$y=4-x$$, ce qui nous donne :
D'une part : Lorsque $$x_1=1$$ on a : $$y=4-1$$ donc $$y=3$$
D'autre part : Lorsque $$x_2=3$$ on a : $$y=4-3$$ donc $$y=1$$
Le système $$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x+y} & {=} & {4} \\ {\ln \left(x\right)+\ln \left(x\right)} & {=} & {\ln \left(3\right)} \end{array}\right.$$ admet deux couples solutions :