Fonction logarithme népérien

Résoudre une équation avec des logarithmes - Exercice 3

10 min
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Pour chaque question, préciser l'ensemble de résolution de l'équation puis la résoudre.
Question 1

ln⁡(−x+5)=ln⁡(2x+10)\ln \left(-x+5\right)=\ln \left(2x+10\right)

Correction
ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
L'équation est définie si et seulement si {−x+5>0 et 2x+10>0⇔{x<5 et x>−5\left\{\begin{array}{c} {-x+5>0} \\ {\text{ et }} \\ {2x+10>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x<5} \\ {\text{ et }} \\ {x>-5} \end{array}\right.
On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition est
Df=]−5;5[D_{f} =\left]-5;5\right[

ln⁡(−x+5)=ln⁡(2x+10)\ln \left(-x+5\right)=\ln \left(2x+10\right)
−x+5=2x+10-x+5=2x+10
−x−2x=10−5-x-2x=10-5
−3x=5-3x=5
x=5−3x=\frac{5}{-3}
x=−53x=\frac{-5}{3}
Or −53∈]−5;5[\frac{-5}{3} \in \left]-5;5\right[, donc la solution de l'équation est
S={−53}S=\left\{\frac{-5}{3} \right\}
Question 2

ln⁡(x+3)=ln⁡(2x+10)\ln \left(x+3\right)=\ln \left(2x+10\right)

Correction
Soient AA et BB deux réels strictements positifs.
  • ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
    • L'équation est définie si et seulement si {x+3>0 et 2x+10>0⇔{x>−3 et x>−5\left\{\begin{array}{c} {x+3>0} \\ {\text{ et }} \\ {2x+10>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>-3} \\ {\text{ et }} \\ {x>-5} \end{array}\right.
    On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition est :
    Df=]−3;+∞[D_{f} =\left]-3;+\infty \right[

    ln⁡(x+3)=ln⁡(2x+10)\ln \left(x+3\right)=\ln \left(2x+10\right) équivaut successivement à
    x+3=2x+10x+3=2x+10
    x=−7x=-7
    Or −7∉]−3;+∞[-7\notin \left]-3;+\infty \right[, donc il n'y a pas de solution à l'équation.
    On écrit alors :
    S=∅S=\emptyset
    Question 3

    ln⁡(2x+2)=ln⁡(−x2+1)\ln \left(2x+2\right)=\ln \left(-x^{2} +1\right)

    Correction
    ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
    L'équation est définie si et seulement si {2x+2>0 et −x2+1>0⇔{x>−1 et x∈]−1;1[\left\{\begin{array}{c} {2x+2>0} \\ {\text{ et }} \\ {-x^{2} +1>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>-1} \\ {\text{ et }} \\ {x\in \left]-1;1\right[} \end{array}\right. pour le signe de −x2+1-x^{2} +1 on utilise le discriminant, et l'on obtient x∈]−1;1[x\in \left]-1;1\right[
    On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition est
    Df=]−1;1[D_{f} =\left]-1;1\right[

    ln⁡(2x+2)=ln⁡(−x2+1)⇔2x+2=−x2+1⇔x2+2x+1=0\ln \left(2x+2\right)=\ln \left(-x^{2} +1\right)\Leftrightarrow 2x+2=-x^{2} +1\Leftrightarrow x^{2} +2x+1=0
    x2+2x+1=0x^{2} +2x+1=0; Δ=0\Delta =0 et il y a une racine double x0=−1x_{0} =-1
    Or −1∉]−1;1[-1\notin \left]-1;1\right[, donc il n'y a pas de solution à l'équation.
    On écrit alors
    S=∅S=\emptyset
    Question 4

    ln⁡(2x+2)+ln⁡(2x)=ln⁡(5)+ln⁡(x)\ln \left(2x+2\right)+\ln \left(2x\right)=\ln \left(5\right)+\ln \left(x\right)

    Correction
  • ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
  • ln⁡(A)+ln⁡(B)=ln⁡(A×B)\ln \left(A\right)+\ln \left(B\right)= \ln \left(A\times B\right)
    • On cherche tout d'abord le domaine de définition de l'équation sans appliquer les règles de calculs sur les logarithmes.
    Une fois le domaine de définition obtenu, on pourra simplifier l'expression.
    L'équation est définie si et seulement si {2x+2>0 et 2x>0 et x>0⇔{x>−1 et x>0 et x>0\left\{\begin{array}{c} {2x+2>0} \\ {\text{ et }} \\ {2x>0} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>-1} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \end{array}\right.
    On fait l'intersection des trois intervalles, ainsi le domaine de définition est
    Df=]0;+∞[D_{f} =\left]0;+\infty \right[

    ln⁡(2x+2)+ln⁡(2x)=ln⁡(5)+ln⁡(x)⇔ln⁡(2x×(2x+2))=ln⁡(5x)⇔4x2+4x=5x\ln \left(2x+2\right)+\ln \left(2x\right)=\ln \left(5\right)+\ln \left(x\right)\Leftrightarrow \ln \left(2x\times \left(2x+2\right)\right)=\ln \left(5x\right)\Leftrightarrow 4x^{2} +4x=5x
    On obtient enfin :
    4x2−x=04x^{2} -x=0
    .
    On utilise le discriminant Δ=1\Delta =1; x1=0x_{1} =0 et x2=14x_{2} =\frac{1}{4}
    D'une part 0∉]0;+∞[0\notin \left]0;+\infty \right[ et d'autre part 14∈]0;+∞[\frac{1}{4} \in \left]0;+\infty \right[
    Finalement , l'unique solution à l'équation ln⁡(2x+2)+ln⁡(2x)=ln⁡(5)+ln⁡(x)\ln \left(2x+2\right)+\ln \left(2x\right)=\ln \left(5\right)+\ln \left(x\right) est
    S={14}S=\left\{\frac{1}{4} \right\}