Résoudre une équation avec des logarithmes - Exercice 3

L'équation est définie si et seulement si $$\left\{\begin{array}{c} {-x+5>0} \\ {\text{ et }} \\ {2x+10>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x<5} \\ {\text{ et }} \\ {x>-5} \end{array}\right.$$
On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition est
$$\ln \left(-x+5\right)=\ln \left(2x+10\right)$$
$$-x+5=2x+10$$
$$-x-2x=10-5$$
$$-3x=5$$
$$x=\frac{5}{-3}$$
$$x=\frac{-5}{3}$$
Or $$\frac{-5}{3} \in \left]-5;5\right[$$, donc la solution de l'équation est

L'équation est définie si et seulement si $$\left\{\begin{array}{c} {x+3>0} \\ {\text{ et }} \\ {2x+10>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>-3} \\ {\text{ et }} \\ {x>-5} \end{array}\right.$$
On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition est :
$$\ln \left(x+3\right)=\ln \left(2x+10\right)$$ équivaut successivement à
$$x+3=2x+10$$
$$x=-7$$
Or $$-7\notin \left]-3;+\infty \right[$$, donc il n'y a pas de solution à l'équation.
On écrit alors :

L'équation est définie si et seulement si $$\left\{\begin{array}{c} {2x+2>0} \\ {\text{ et }} \\ {-x^{2} +1>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>-1} \\ {\text{ et }} \\ {x\in \left]-1;1\right[} \end{array}\right.$$ pour le signe de $$-x^{2} +1$$ on utilise le discriminant, et l'on obtient $$x\in \left]-1;1\right[$$
On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition est
$$\ln \left(2x+2\right)=\ln \left(-x^{2} +1\right)\Leftrightarrow 2x+2=-x^{2} +1\Leftrightarrow x^{2} +2x+1=0$$
$$x^{2} +2x+1=0$$; $$\Delta =0$$ et il y a une racine double $$x_{0} =-1$$
Or $$-1\notin \left]-1;1\right[$$, donc il n'y a pas de solution à l'équation.
On écrit alors

On cherche tout d'abord le domaine de définition de l'équation sans appliquer les règles de calculs sur les logarithmes.
Une fois le domaine de définition obtenu, on pourra simplifier l'expression.
L'équation est définie si et seulement si $$\left\{\begin{array}{c} {2x+2>0} \\ {\text{ et }} \\ {2x>0} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>-1} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \end{array}\right.$$
On fait l'intersection des trois intervalles, ainsi le domaine de définition est
$$\ln \left(2x+2\right)+\ln \left(2x\right)=\ln \left(5\right)+\ln \left(x\right)\Leftrightarrow \ln \left(2x\times \left(2x+2\right)\right)=\ln \left(5x\right)\Leftrightarrow 4x^{2} +4x=5x$$
On obtient enfin : .
On utilise le discriminant $$\Delta =1$$; $$x_{1} =0$$ et $$x_{2} =\frac{1}{4}$$
D'une part $$0\notin \left]0;+\infty \right[$$ et d'autre part $$\frac{1}{4} \in \left]0;+\infty \right[$$
Finalement , l'unique solution à l'équation $$\ln \left(2x+2\right)+\ln \left(2x\right)=\ln \left(5\right)+\ln \left(x\right)$$ est