Résoudre une équation avec des logarithmes - Exercice 2

L'équation est définie si et seulement si : $$4x-2>0\Leftrightarrow 4x>2\Leftrightarrow x>\frac{2}{4} \Leftrightarrow x>\frac{1}{2}$$
Ainsi le domaine de définition est :
$$\ln \left(4x-2\right)=0$$ équivaut successivement à
$$\ln \left(4x-2\right)=\ln \left(1\right)$$
$$4x-2=1$$
$$4x=1+2$$
$$4x=3$$
$$x=\frac{3}{4}$$
Or $$\frac{3}{4} \in \left]\frac{1}{2} ;+\infty \right[$$, donc la solution de l'équation est :

L'équation est définie si et seulement si $$x+3>0\Leftrightarrow x>-3$$
Ainsi le domaine de définition est :
$$\ln \left(x+3\right)=1$$ équivaut successivement à
$$\ln \left(x+3\right)=\ln \left(e\right)$$
$$x+3=e$$
$$x=e-3$$
Or $$\left(e-3\right)\in \left]-3;+\infty \right[$$, donc la solution de l'équation est :

L'équation est définie si et seulement si : $$-x+7>0\Leftrightarrow -x>-7\Leftrightarrow x<\frac{-7}{-1} \Leftrightarrow x<7$$
Ainsi le domaine de définition est $$2\ln \left(-x+7\right)=-6$$
$$\ln \left(-x+7\right)=\frac{-6}{2}$$
$$\ln \left(-x+7\right)=-3$$
$$\ln \left(-x+7\right)=\ln \left(e^{-3} \right)$$
$$-x+7=e^{-3}$$
$$-x=e^{-3}-7$$
$$x=-e^{-3} +7$$
Or $$\left(7-e^{-3} \right)\in \left]-\infty ;7\right[$$, donc la solution de l'équation est

L'équation est définie si et seulement si $$\left\{\begin{array}{c} {2x+14>0} \\ {\text{ et }} \\ {x-6>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>-7} \\ {\text{ et }} \\ {x>6} \end{array}\right.$$
On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition est :
$$\ln \left(2x+14\right)=\ln \left(x-6\right)$$ équivaut successivement à
$$2x+14=x-6$$
$$2x-x=-6-14$$
$$x=-20$$
Or $$-20\notin \left]6;+\infty \right[$$, donc il n'y a pas de solution à l'équation.
On écrit alors :