Résoudre une équation avec des logarithmes

L'équation est définie si et seulement si $x>0$
Ainsi le domaine de définition est :
$\ln x=6$ équivaut successivement à :
$\ln x=\ln \left(e^{6} \right)$ car $\ln \left(e^{a} \right)=a$
$x=e^{6}$
Or $e^{6} \in \left]0;+\infty \right[$, donc la solution de l'équation est :

L'équation est définie si et seulement si $x>0$
Ainsi le domaine de définition est :
$2\ln x+4=0$ équivaut successivement à :
$2\ln x=-4$
$\ln x=-2$
$\ln x=\ln \left(e^{-2} \right)$ car $\ln \left(e^{a} \right)=a$
$x=e^{-2}$
Or $e^{-2} \in \left]0;+\infty \right[$, donc la solution de l'équation est :

L'équation est définie si et seulement si $x>0$
Ainsi le domaine de définition est :
$\ln x=-5$ équivaut successivement à :
$\ln x=\ln \left(e^{-5} \right)$ car $\ln \left(e^{a} \right)=a$
$x=e^{-5}$
Or $e^{-5} \in \left]0;+\infty \right[$, donc la solution de l'équation est :

L'équation est définie si et seulement si $x>0$
Ainsi le domaine de définition est :
$-5\ln \left(x\right)+3=2\ln \left(x\right)+10$ équivaut successivement à :
$-5\ln \left(x\right)-2\ln \left(x\right)=10-3$
$-7\ln \left(x\right)=7$
$\ln \left(x\right)=\frac{7}{-7}$
$\ln \left(x\right)=-1$
$\ln x=\ln \left(e^{-1} \right)$ car $\ln \left(e^{a} \right)=a$
$x=e^{-1}$
Or $e^{-1} \in \left]0;+\infty \right[$, donc la solution de l'équation est :

L'équation est définie si et seulement si : $4x-2>0\Leftrightarrow 4x>2\Leftrightarrow x>\frac{2}{4} \Leftrightarrow x>\frac{1}{2}$
Ainsi le domaine de définition est :
$\ln \left(4x-2\right)=0$ équivaut successivement à
$\ln \left(4x-2\right)=\ln \left(1\right)$
$4x-2=1$
$4x=1+2$
$4x=3$
$x=\frac{3}{4}$
Or $\frac{3}{4} \in \left]\frac{1}{2} ;+\infty \right[$, donc la solution de l'équation est :

L'équation est définie si et seulement si $x+3>0\Leftrightarrow x>-3$
Ainsi le domaine de définition est :
$\ln \left(x+3\right)=1$ équivaut successivement à
$\ln \left(x+3\right)=\ln \left(e\right)$
$x+3=e$
$x=e-3$
Or $\left(e-3\right)\in \left]-3;+\infty \right[$, donc la solution de l'équation est :

L'équation est définie si et seulement si : $-x+7>0\Leftrightarrow -x>-7\Leftrightarrow x<\frac{-7}{-1} \Leftrightarrow x<7$
Ainsi le domaine de définition est $2\ln \left(-x+7\right)=-6$
$\ln \left(-x+7\right)=\frac{-6}{2}$
$\ln \left(-x+7\right)=-3$
$\ln \left(-x+7\right)=\ln \left(e^{-3} \right)$
$-x+7=e^{-3}$
$-x=e^{-3}-7$
$x=-e^{-3} +7$
Or $\left(7-e^{-3} \right)\in \left]-\infty ;7\right[$, donc la solution de l'équation est

L'équation est définie si et seulement si $\left\{\begin{array}{c} {2x+14>0} \\ {\text{ et }} \\ {x-6>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>-7} \\ {\text{ et }} \\ {x>6} \end{array}\right.$
On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition est :
$\ln \left(2x+14\right)=\ln \left(x-6\right)$ équivaut successivement à
$2x+14=x-6$
$2x-x=-6-14$
$x=-20$
Or $-20\notin \left]6;+\infty \right[$, donc il n'y a pas de solution à l'équation.
On écrit alors :

L'équation est définie si et seulement si $\left\{\begin{array}{c} {-x+5>0} \\ {\text{ et }} \\ {2x+10>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x<5} \\ {\text{ et }} \\ {x>-5} \end{array}\right.$
On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition est
$\ln \left(-x+5\right)=\ln \left(2x+10\right)$
$-x+5=2x+10$
$-x-2x=10-5$
$-3x=5$
$x=\frac{5}{-3}$
$x=\frac{-5}{3}$
Or $\frac{-5}{3} \in \left]-5;5\right[$, donc la solution de l'équation est

L'équation est définie si et seulement si $\left\{\begin{array}{c} {x+3>0} \\ {\text{ et }} \\ {2x+10>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>-3} \\ {\text{ et }} \\ {x>-5} \end{array}\right.$
On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition est :
$\ln \left(x+3\right)=\ln \left(2x+10\right)$ équivaut successivement à
$x+3=2x+10$
$x=-7$
Or $-7\notin \left]-3;+\infty \right[$, donc il n'y a pas de solution à l'équation.
On écrit alors :

L'équation est définie si et seulement si $\left\{\begin{array}{c} {2x+2>0} \\ {\text{ et }} \\ {-x^{2} +1>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>-1} \\ {\text{ et }} \\ {x\in \left]-1;1\right[} \end{array}\right.$ pour le signe de $-x^{2} +1$ on utilise le discriminant, et l'on obtient $x\in \left]-1;1\right[$
On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition est
$\ln \left(2x+2\right)=\ln \left(-x^{2} +1\right)\Leftrightarrow 2x+2=-x^{2} +1\Leftrightarrow x^{2} +2x+1=0$
$x^{2} +2x+1=0$; $\Delta =0$ et il y a une racine $x_{0} =-1$
Or $-1\notin \left]-1;1\right[$, donc il n'y a pas de solution à l'équation.
On écrit alors

On cherche tout d'abord le domaine de définition de l'équation sans appliquer les règles de calculs sur les logarithmes.
Une fois le domaine de définition obtenu, on pourra simplifier l'expression.
L'équation est définie si et seulement si $\left\{\begin{array}{c} {2x+2>0} \\ {\text{ et }} \\ {2x>0} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>-1} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \end{array}\right.$
On fait l'intersection des trois intervalles, ainsi le domaine de définition est
$\ln \left(2x+2\right)+\ln \left(2x\right)=\ln \left(5\right)+\ln \left(x\right)\Leftrightarrow \ln \left(2x\times \left(2x+2\right)\right)=\ln \left(5x\right)\Leftrightarrow 4x^{2} +4x=5x$
On obtient enfin : .
On utilise le discriminant $\Delta =1$; $x_{1} =0$ et $x_{2} =\frac{1}{4}$
D'une part $0\notin \left]0;+\infty \right[$ et d'autre part $\frac{1}{4} \in \left]0;+\infty \right[$
Finalement , l'unique solution à l'équation $\ln \left(2x+2\right)+\ln \left(2x\right)=\ln \left(5\right)+\ln \left(x\right)$ est

Soit $x$ un réel strictement positif.
On va effectuer un changement de variable. On pose $X=\ln \left(x\right)$
Il en résulte que $\left\{\begin{array}{c} {X^{2} +2X-3=0} \\ {X=\ln \left(x\right)} \end{array}\right.$.
On utilise le discriminant .
Il existe donc deux racines réelles distinctes notées $X_{1}$ et $X_{2}$ tels que $X_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ et $X_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$
$X_{1} =-3$ et $X_{2} =1$.
Or nous avons posé $X=\ln \left(x\right)$, il en résulte que
$\ln \left(x\right)=-3$ ou encore $\ln \left(x\right)=1$

Résolvons d'une part $\ln \left(x\right)=1$.

Il vient alors que $\ln \left(x\right)=1\Leftrightarrow \ln \left(x\right)=\ln \left(e^{1} \right)\Leftrightarrow$

Résolvons d'une part $\ln \left(x\right)=-3$.

Il vient alors que $\ln \left(x\right)=-3\Leftrightarrow \ln \left(x\right)=\ln \left(e^{-3} \right)\Leftrightarrow$
Finalement les solutions de l'équation $\left(\ln \left(x\right)\right)^{2} +2\ln \left(x\right)-3=0$ sont :

Soit $x$ un réel strictement positif.
On va effectuer un changement de variable. On pose $X=\ln \left(x\right)$
Il en résulte que $\left\{\begin{array}{c} {2X^{2} -4X-16=0} \\ {X=\ln \left(x\right)} \end{array}\right.$.
On utilise le discriminant .
Il existe donc deux racines réelles distinctes notées $X_{1}$ et $X_{2}$ tels que $X_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ et $X_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$
$X_{1} =-2$ et $X_{2} =4$.
Or nous avons posé $X=\ln \left(x\right)$, il en résulte que
$\ln \left(x\right)=-2$ ou encore $\ln \left(x\right)=4$ .

Résolvons d'une part $\ln \left(x\right)=4$. Il vient alors que $\ln \left(x\right)=4\Leftrightarrow \ln \left(x\right)=\ln \left(e^{4} \right)\Leftrightarrow$

$x=e^{4}$

Résolvons d'une part $\ln \left(x\right)=-2$. Il vient alors que $\ln \left(x\right)=-2\Leftrightarrow \ln \left(x\right)=\ln \left(e^{-2} \right)\Leftrightarrow$

$x=e^{-2}$

Finalement les solutions de l'équation $2\left(\ln \left(x\right)\right)^{2} -4\ln \left(x\right)-16=0$ sont

Soit $x$ un réel strictement positif.
On va effectuer un changement de variable. On pose $X=\ln \left(x\right)$
Il en résulte que $\left\{\begin{array}{c} {X^{2} +4X-5=0} \\ {X=\ln \left(x\right)} \end{array}\right.$.
On utilise le discriminant .
Il existe donc deux racines réelles distinctes notées $X_{1}$ et $X_{2}$ tels que $X_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ et $X_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$
$X_{1} =-5$ et $X_{2} =1$.
Or nous avons posé $X=\ln \left(x\right)$, il en résulte que
$\ln \left(x\right)=-5$ ou encore $\ln \left(x\right)=1$

Résolvons d'une part $\ln \left(x\right)=1$.

Il vient alors que $\ln \left(x\right)=1\Leftrightarrow \ln \left(x\right)=\ln \left(e^{1} \right)\Leftrightarrow$

Résolvons d'une part $\ln \left(x\right)=-5$.

Il vient alors que $\ln \left(x\right)=-5\Leftrightarrow \ln \left(x\right)=\ln \left(e^{-5} \right)\Leftrightarrow$
Finalement les solutions de l'équation $\left(\ln \left(x\right)\right)^{2} +4\ln \left(x\right)-5=0$ sont :

Soit $x$ un réel strictement positif.
On va effectuer un changement de variable. On pose $X=\ln \left(x\right)$
Il en résulte que $\left\{\begin{array}{c} {X^{2} +7X-8=0} \\ {X=\ln \left(x\right)} \end{array}\right.$.
On utilise le discriminant .
Il existe donc deux racines réelles distinctes notées $X_{1}$ et $X_{2}$ tels que $X_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ et $X_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$
$X_{1} =-8$ et $X_{2} =1$.
Or nous avons posé $X=\ln \left(x\right)$, il en résulte que
$\ln \left(x\right)=-8$ ou encore $\ln \left(x\right)=1$

Résolvons d'une part $\ln \left(x\right)=1$.

Il vient alors que $\ln \left(x\right)=1\Leftrightarrow \ln \left(x\right)=\ln \left(e^{1} \right)\Leftrightarrow$

Résolvons d'une part $\ln \left(x\right)=-8$.

Il vient alors que $\ln \left(x\right)=-8\Leftrightarrow \ln \left(x\right)=\ln \left(e^{-8} \right)\Leftrightarrow$
Finalement les solutions de l'équation $\left(\ln \left(x\right)\right)^{2} +7\ln \left(x\right)-8=0$ sont :

Soit $x$ un réel strictement positif.
On va effectuer un changement de variable. On pose $X=\ln \left(x\right)$
Il en résulte que $\left\{\begin{array}{c} {X^{2} -8X+15=0} \\ {X=\ln \left(x\right)} \end{array}\right.$.
On utilise le discriminant .
Il existe donc deux racines réelles distinctes notées $X_{1}$ et $X_{2}$ tels que $X_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ et $X_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$
$X_{1} =5$ et $X_{2} =3$.
Or nous avons posé $X=\ln \left(x\right)$, il en résulte que
$\ln \left(x\right)=5$ ou encore $\ln \left(x\right)=3$

Résolvons d'une part $\ln \left(x\right)=3$.

Il vient alors que $\ln \left(x\right)=3\Leftrightarrow \ln \left(x\right)=\ln \left(e^{3} \right)\Leftrightarrow$

Résolvons d'une part $\ln \left(x\right)=5$.

Il vient alors que $\ln \left(x\right)=5\Leftrightarrow \ln \left(x\right)=\ln \left(e^{5} \right)\Leftrightarrow$
Finalement les solutions de l'équation $\left(\ln \left(x\right)\right)^{2} -8\ln \left(x\right)+15=0$ sont :