ln(A)=ln(B)⇔A=Bln(A)+ln(B)=ln(A×B) On cherche tout d'abord le domaine de définition de l'équation sans appliquer les règles de calculs sur les logarithmes.
Une fois le domaine de définition obtenu, on pourra simplifier l'expression.
L'équation est définie si et seulement si
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧2x+2>0 et 2x>0 et x>0⇔⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧x>−1 et x>0 et x>0On fait l'intersection des trois intervalles, ainsi le domaine de définition est
Df=]0;+∞[ ln(2x+2)+ln(2x)=ln(5)+ln(x)⇔ln(2x×(2x+2))=ln(5x)⇔4x2+4x=5xOn obtient enfin :
4x2−x=0 .
On utilise le discriminant
Δ=1;
x1=0 et
x2=41D'une part
0∈/]0;+∞[ et d'autre part
41∈]0;+∞[Finalement , l'unique solution à l'équation
ln(2x+2)+ln(2x)=ln(5)+ln(x) est
S={41}