Fonction logarithme népérien

Résoudre une équation avec des logarithmes - Exercice 1

10 min
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Pour chaque question, préciser l'ensemble de résolution de l'équation puis la résoudre.
Question 1

lnx=6\ln x=6

Correction
Soient AA et BB deux réels strictements positifs.
  • ln(A)=ln(B)A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
  • ln(eA)=A\ln \left(e^{A} \right)=A
  • L'équation est définie si et seulement si x>0x>0
    Ainsi le domaine de définition est :
    Df=]0;+[D_{f} =\left]0 ;+\infty \right[

    lnx=6\ln x=6 équivaut successivement à :
    lnx=ln(e6)\ln x=\ln \left(e^{6} \right) car ln(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    x=e6x=e^{6}
    Or e6]0;+[e^{6} \in \left]0;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
    S={e6}S=\left\{e^{6} \right\}

    Question 2

    2lnx+4=02\ln x+4=0

    Correction
    Soient AA et BB deux réels strictements positifs.
  • ln(A)=ln(B)A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
  • ln(eA)=A\ln \left(e^{A} \right)=A
  • L'équation est définie si et seulement si x>0x>0
    Ainsi le domaine de définition est :
    Df=]0;+[D_{f} =\left]0 ;+\infty \right[

    2lnx+4=02\ln x+4=0 équivaut successivement à :
    2lnx=42\ln x=-4
    lnx=2\ln x=-2
    lnx=ln(e2)\ln x=\ln \left(e^{-2} \right) car ln(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    x=e2x=e^{-2}
    Or e2]0;+[e^{-2} \in \left]0;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
    S={e2}S=\left\{e^{-2} \right\}

    Question 3

    lnx=5\ln x=-5

    Correction
    Soient AA et BB deux réels strictements positifs.
  • ln(A)=ln(B)A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
  • ln(eA)=A\ln \left(e^{A} \right)=A
  • L'équation est définie si et seulement si x>0x>0
    Ainsi le domaine de définition est :
    Df=]0;+[D_{f} =\left]0 ;+\infty \right[

    lnx=5\ln x=-5 équivaut successivement à :
    lnx=ln(e5)\ln x=\ln \left(e^{-5} \right) car ln(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    x=e5x=e^{-5}
    Or e5]0;+[e^{-5} \in \left]0;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
    S={e5}S=\left\{e^{-5} \right\}

    Question 4

    5ln(x)+3=2ln(x)+10-5\ln \left(x\right)+3=2\ln \left(x\right)+10

    Correction
    Soient AA et BB deux réels strictements positifs.
  • ln(A)=ln(B)A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
  • ln(eA)=A\ln \left(e^{A} \right)=A
  • L'équation est définie si et seulement si x>0x>0
    Ainsi le domaine de définition est :
    Df=]0;+[D_{f} =\left]0 ;+\infty \right[

    5ln(x)+3=2ln(x)+10-5\ln \left(x\right)+3=2\ln \left(x\right)+10 équivaut successivement à :
    5ln(x)2ln(x)=103-5\ln \left(x\right)-2\ln \left(x\right)=10-3
    7ln(x)=7-7\ln \left(x\right)=7
    ln(x)=77\ln \left(x\right)=\frac{7}{-7}
    ln(x)=1\ln \left(x\right)=-1
    lnx=ln(e1)\ln x=\ln \left(e^{-1} \right) car ln(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    x=e1x=e^{-1}
    Or e1]0;+[e^{-1} \in \left]0;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
    S={e1}S=\left\{e^{-1} \right\}