QCM - Exercice 1

La bonne réponse est $$a$$.
$$\mathscr{C}$$ coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse signifie qu'il nous faut résoudre l'équation $$f\left(x\right)=0$$.
$$f\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$x^{2} \left(1-\ln \left(x\right)\right)=0$$. Il s'agit d'une équation produit
$$x^{2} =0$$ ou $$1-\ln \left(x\right)=0$$
$$\red{\text{Résolvons d'une part :}}$$
$$x^{2} =0\Leftrightarrow x=0$$. Or il ne faut pas oublier que nous travaillons sur l'intervalle $$\left]0; 3\right]$$. Cela signifie que l'on ne retiendra pas la solution $$x=0$$.
$$\red{\text{Résolvons d'autre part :}}$$
$$1-\ln \left(x\right)=0\Leftrightarrow -\ln \left(x\right)=-1\Leftrightarrow \ln \left(x\right)=1\Leftrightarrow \ln \left(x\right)=\ln \left(e\right)\Leftrightarrow x=e$$
Dans ce cas de figure, la valeur $$x=e$$ appartient bien à l'intervalle $$\left]0; 3\right]$$.
Il en résulte donc que l'équation $$f\left(x\right)=0$$ admet donc une seule solution .

La bonne réponse est $$b$$.Résolvons alors $$f''\left(x\right)=0$$. D'après l'énoncé nous savons que : $$f''\left(x\right)=-1-2\ln \left(x\right)$$
$$f''\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$-1-2\ln \left(x\right)=0$$
$$-2\ln \left(x\right)=1$$
$$\ln \left(x\right)=-\frac{1}{2}$$
$$\ln \left(x\right)=\ln e^{-\frac{1}{2} }$$
$$x=e^{-\frac{1}{2} }$$
$$x=\frac{1}{e^{\frac{1}{2} } }$$

La bonne réponse est $$a$$.
Soit $$f\left(x\right)=x^{2} \left(1-\ln \left(x\right)\right)$$
$$f$$ est dérivable sur $$\left]0; 3\right]$$
Ici on reconnaît la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=x^{2}$$ et $$v\left(x\right)=1-\ln \left(x\right)$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=2x$$ et $$v'\left(x\right)=-\frac{1}{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=2x\left(1-\ln \left(x\right)\right)+x^{2} \times \left(-\frac{1}{x} \right)$$
$$f'\left(x\right)=2x\left(1-\ln \left(x\right)\right)-\frac{x^{2} }{x}$$
$$f'\left(x\right)=2x\left(1-\ln \left(x\right)\right)-x$$
$$f'\left(x\right)=2x-2x\ln \left(x\right)-x$$
$$f'\left(x\right)=x-2x\ln \left(x\right)$$

La bonne réponse est $$c$$.Ici $$a=e$$, ce qui donne, $$y=f'\left(e\right)\left(x-e\right)+f\left(e\right)$$.
1^ère étape : calculer $$f\left(e\right)$$
$$f\left(e\right)=e^{2} \left(1-\ln \left(e\right)\right)$$
$$f\left(e\right)=e^{2} \left(1-1\right)$$
$$f\left(e\right)=e^{2}\times0$$
$$f\left(e\right)=0$$
2^ème étape : calculer $$f'\left(e\right)$$
$$f'\left(e\right)=e\left(1-2\ln \left(e\right)\right)$$
$$f'\left(e\right)=e\left(1-2\right)$$
$$f'\left(e\right)=e\times\left(-1\right)$$
$$f'\left(e\right)=-e$$
3^ème étape : on remplace les valeurs de $$f\left(e\right)$$ et de $$f'\left(e\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(e\right)\left(x-e\right)+f\left(e\right)$$
$$y=-e\times \left(x-e\right)+0$$
$$y=-ex+e^{2}$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$\mathscr{C}$$ au point d'abscisse $$e$$ est alors : .