Fonction logarithme népérien

Propriétés algébriques du logarithme - Exercice 2

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Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ln⁡(−x+x2+1)+ln⁡(x+x2+1)f\left(x\right)=\ln \left(-x+\sqrt{x^{2} +1} \right)+\ln \left(x+\sqrt{x^{2} +1} \right)
Question 1

Démontrer que ff est une fonction constante sur R\mathbb{R}

Correction
    Soient aa et bb deux réels strictement positifs.
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
f(x)=ln⁡(−x+x2+1)+ln⁡(x+x2+1)f\left(x\right)=\ln \left(-x+\sqrt{x^{2} +1} \right)+\ln \left(x+\sqrt{x^{2} +1} \right) équivaut à
f(x)=ln⁡((−x+x2+1)×(x+x2+1))f\left(x\right)=\ln \left(\left(-x+\sqrt{x^{2} +1} \right)\times \left(x+\sqrt{x^{2} +1} \right)\right)
On reconnait une identité remarquable (a−b)(a+b)=a2−b2\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2} -b^{2}
Ainsi :
f(x)=ln⁡((−(x)2+(x2+1)2))f\left(x\right)=\ln \left(\left(-\left(x\right)^{2} +\left(\sqrt{x^{2} +1} \right)^{2} \right)\right) équivaut successivement à
f(x)=ln⁡(−x2+x2+1)f\left(x\right)=\ln \left(-x^{2} +x^{2} +1\right)
f(x)=ln⁡(1)f\left(x\right)=\ln \left(1\right)
Finalement :
f(x)=0f\left(x\right)=0

Donc ff est bien une fonction constante sur R\mathbb{R}.