Fonction logarithme népérien

Primitives un peu plus compliquées - Exercice 2

15 min
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Soit ff une fonction continue sur ]−3;+∞[\left]-3;+\infty \right[ définie par f(x)=2x2−3x+4x+3f\left(x\right)=\frac{2x^{2} -3x+4}{x+3}
Question 1

Déterminer les réels aa, bb et cc tels que f(x)=ax+b+cx+3f\left(x\right)=ax+b+\frac{c}{x+3}

Correction
Nous allons mettre l'expression au même dénominateur puis résoudre un système par identification. Il vient alors :
f(x)=ax+b+cx+3f\left(x\right)=ax+b+\frac{c}{x+3} équivaut successivement à :
f(x)=(ax+b)(x+3)x+3+cx+3f\left(x\right)=\frac{\left(ax+b\right)\left(x+3\right)}{x+3} +\frac{c}{x+3}
f(x)=ax2+3ax+bx+3b+cx+3f\left(x\right)=\frac{ax^{2} +3ax+bx+3b+c}{x+3}
f(x)=ax2+x(3a+b)+3b+cx+3f\left(x\right)=\frac{ax^{2} +x\left(3a+b\right)+3b+c}{x+3}
On doit avoir :
ax2+x(3a+b)+3b+cx+3=2x2−3x+4x+3\frac{{\color{blue}a}x^{2} +x\left({\color{red}3a+b}\right)+{\color{purple}3b+c}}{x+3} =\frac{{\color{blue}2}x^{2} {\color{red}-3}x+{\color{purple}4}}{x+3}
.
Il faut que les numérateurs soient égaux. Or deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients respectifs sont égaux. On en déduit le système suivant :
{a=23a+b=−33b+c=4\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{blue}a}} & {=} & {{\color{blue}2}} \\ {{\color{red}3a+b}} & {=} & {{\color{red}-3}} \\ {{\color{purple}3b+c}} & {=} & {{\color{purple}4}} \end{array}\right.
{a=23×2+b=−33b+c=4\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {3\times 2+b} & {=} & {-3} \\ {3b+c} & {=} & {4} \end{array}\right.
{a=26+b=−33b+c=4\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {6+b} & {=} & {-3} \\ {3b+c} & {=} & {4} \end{array}\right.
{a=2b=−3−63b+c=4\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-3-6} \\ {3b+c} & {=} & {4} \end{array}\right.
{a=2b=−93b+c=4\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-9} \\ {3b+c} & {=} & {4} \end{array}\right.
{a=2b=−93×(−9)+c=4\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-9} \\ {3\times \left(-9\right)+c} & {=} & {4} \end{array}\right.
{a=2b=−9−27+c=4\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-9} \\ {-27+c} & {=} & {4} \end{array}\right.
{a=2b=−9c=4+27\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-9} \\ {c} & {=} & {4+27} \end{array}\right.
D'où : {a=2b=−9c=31\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-9} \\ {c} & {=} & {31} \end{array}\right.
Il en résulte donc que :
f(x)=2x−9+31x+3f\left(x\right)=2x-9+\frac{31}{x+3}
Question 2

En déduire une primitive de ff tel que F(−2)=3F\left(-2\right)=3

Correction
Pour calculer les primitives de ff, commençons par calculer les primitives de : g(x)=31x+3g\left(x\right)=\frac{31}{x+3}
On reconnait une forme u′u\frac{u'}{u} :

Finalement :
F(x)=x2−9x+31ln⁡(x+3)+kF\left(x\right)=x^{2} -9x+31\ln \left(x+3\right)+k où k∈Rk\in \mathbb{R}

Or :
F(−2)=3F\left(-2\right)=3 équivaut successivement à :
(−2)2−9(−2)+31ln⁡((−2)+3)+k=3\left(-2\right)^{2} -9\left(-2\right)+31\ln \left(\left(-2\right)+3\right)+k=3
4+18+31ln⁡(1)+k=34+18+31\ln \left(1\right)+k=3
22+k=322+k=3
k=3−22k=3-22
k=−19k=-19

On peut conclure que :
F(x)=x2−9x+31ln⁡(x+3)−19F\left(x\right)=x^{2} -9x+31\ln \left(x+3\right)-19