Primitives un peu plus compliquées - Exercice 2

Nous allons mettre l'expression au même dénominateur puis résoudre un système par identification. Il vient alors :
$$f\left(x\right)=ax+b+\frac{c}{x+3}$$ équivaut successivement à :
$$f\left(x\right)=\frac{\left(ax+b\right)\left(x+3\right)}{x+3} +\frac{c}{x+3}$$
$$f\left(x\right)=\frac{ax^{2} +3ax+bx+3b+c}{x+3}$$
$$f\left(x\right)=\frac{ax^{2} +x\left(3a+b\right)+3b+c}{x+3}$$
On doit avoir : .
Il faut que les numérateurs soient égaux. Or deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients respectifs sont égaux. On en déduit le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{blue}a}} & {=} & {{\color{blue}2}} \\ {{\color{red}3a+b}} & {=} & {{\color{red}-3}} \\ {{\color{purple}3b+c}} & {=} & {{\color{purple}4}} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {3\times 2+b} & {=} & {-3} \\ {3b+c} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {6+b} & {=} & {-3} \\ {3b+c} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-3-6} \\ {3b+c} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-9} \\ {3b+c} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-9} \\ {3\times \left(-9\right)+c} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-9} \\ {-27+c} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-9} \\ {c} & {=} & {4+27} \end{array}\right.$$
D'où : $$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-9} \\ {c} & {=} & {31} \end{array}\right.$$
Il en résulte donc que :

Pour calculer les primitives de $$f$$, commençons par calculer les primitives de : $$g\left(x\right)=\frac{31}{x+3}$$
On reconnait une forme $$\frac{u'}{u}$$ :

Finalement :
Or :
$$F\left(-2\right)=3$$ équivaut successivement à :
$$\left(-2\right)^{2} -9\left(-2\right)+31\ln \left(\left(-2\right)+3\right)+k=3$$
$$4+18+31\ln \left(1\right)+k=3$$
$$22+k=3$$
$$k=3-22$$

On peut conclure que :