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Logarithme, primitives et suites - Exercice 1

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Question 1
Soient ff et FF les fonctions définies sur I=]0;+∞[I=\left]0;+\infty \right[ par : f(x)=1x+ln⁡(x)xf\left(x\right)=\frac{1}{x} +\frac{\ln \left(x\right)}{x} et F(x)=12(ln⁡(x))2+ln⁡(x)F\left(x\right)=\frac{1}{2} \left(\ln \left(x\right)\right)^{2} +\ln \left(x\right).

Démontrer que la fonction FF est une primitive de ff sur II.

Correction
Dans le cas où une primitive FF est donnée, il vous suffit de dériver FF et d'obtenir comme résultat ff.
Autrement dit, il faut que : F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)

(un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=ln⁡(x)u\left(x\right)=\ln \left(x\right) et n=2n=2. Ainsi u′(x)=1xu'\left(x\right)=\frac{1}{x}.
Il en résulte que :
F′(x)=12×2×1x×ln⁡(x)+1xF'\left(x\right)=\frac{1}{2} \times 2\times \frac{1}{x} \times \ln \left(x\right)+\frac{1}{x}
F′(x)=ln⁡(x)x+1xF'\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{x} +\frac{1}{x}
Ainsi :
F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
Question 2

Déterminer la primitive de ff qui s'annule pour x=ex=e.

Correction
La primitive de ff qui s'annule pour x=ex=e s'écrit F(x)=12(ln⁡(x))2+ln⁡(x)+kF\left(x\right)=\frac{1}{2} \left(\ln \left(x\right)\right)^{2} +\ln \left(x\right)+k où kk est un réel et de plus il nous faut que F(e)=0F\left(e\right)=0.
Ainsi :
F(e)=12(ln⁡(e))2+ln⁡(e)+kF\left(e\right)=\frac{1}{2} \left(\ln \left(e\right)\right)^{2} +\ln \left(e\right)+k
F(e)=12×1+1+kF\left(e\right)=\frac{1}{2} \times 1+1+k
F(e)=32+kF\left(e\right)=\frac{3}{2} +k
Or F(e)=0F\left(e\right)=0 ce qui implique que : 32+k=0\frac{3}{2} +k=0
Il vient alors que : k=−32k=-\frac{3}{2}.
La primitive de ff qui s'annule pour x=ex=e s'écrit alors :
F(x)=12(ln⁡(x))2+ln⁡(x)−32F\left(x\right)=\frac{1}{2} \left(\ln \left(x\right)\right)^{2} +\ln \left(x\right)-\frac{3}{2}