Fonction logarithme népérien

Limites - Exercice 3

3 min
10
Déterminer les limites suivantes.
Question 1

limx+5x32ln(x){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 5x^{3} -2\ln \left(x\right)

Correction
limx+5x3=+limx+2ln(x)=}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }5x^{3}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -2\ln \left(x\right)} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}
Nous rencontrons une forme indeˊtermineˊe.\blue{\text{Nous rencontrons une forme indéterminée.}}
Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le plus fort c'est à dire ici x3x^{3}.
Lorsque nous avons une forme indéterminée en ++\infty, nous factorisons en priorité par les exponentielles, et s'il n'y en a pas alors nous factorisons par le monôme de plus en haut degré c'est à dire soit xx ou x2x^{2} ou x3x^{3}...
Ainsi :
limx+5x32ln(x)=limx+x3(5x32ln(x)x3){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 5x^{3} -2\ln \left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x^{3} \left(\frac{5x^{3} -2\ln \left(x\right)}{x^{3} } \right)
limx+5x32ln(x)=limx+x3(5x3x32ln(x)x3){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 5x^{3} -2\ln \left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x^{3} \left(\frac{5x^{3} }{x^{3} } -\frac{2\ln \left(x\right)}{x^{3} } \right)
limx+5x32ln(x)=limx+x3(52ln(x)x3){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 5x^{3} -2\ln \left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x^{3} \left(5-\frac{2\ln \left(x\right)}{x^{3} } \right)
    Pour tout nombre entier nn strictement positif, on a :
  • limx+ln(x)xn=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x^{n} }=0
  • D'après le rappel, on a : limx+ln(x)x3=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x^{3} }=0 . Il vient alors que :
    limx+x3=+limx+52ln(x)x3=5}par produit\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 5-\frac{2\ln \left(x\right)}{x^{3} }} & {=} & {5 } \end{array}\right\}{\red{\text{par produit}}}
    limx+x3(52ln(x)x3)=+{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x^{3} \left(5-\frac{2\ln \left(x\right)}{x^{3} } \right)=+\infty

    Finalement :
    limx+5x32ln(x)=+{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 5x^{3} -2\ln \left(x\right)=+\infty

    Question 2

    limx+3ln(x)5x4+6x1{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 3\ln \left(x\right)-5x^{4} +6x-1

    Correction
    limx+5x41=limx+3ln(x)+6x=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }-5x^{4}-1} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 3\ln \left(x\right)+6x} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}
    Nous rencontrons une forme indeˊtermineˊe.\blue{\text{Nous rencontrons une forme indéterminée.}}
    Pour relever cette indétermination, nous allons factoriser par le plus fort c'est à dire ici x4x^{4}.
    Lorsque nous avons une forme indéterminée en ++\infty, nous factorisons en priorité par les exponentielles, et s'il n'y en a pas alors nous factorisons par le monôme de plus en haut degré c'est à dire soit xx ou x2x^{2} ou x3x^{3}...
    Ainsi :
    limx+3ln(x)5x4+6x1=limx+x4(3ln(x)5x4+6x1x4){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 3\ln \left(x\right)-5x^{4} +6x-1={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x^{4} \left(\frac{3\ln \left(x\right)-5x^{4} +6x-1}{x^{4} } \right)
    limx+3ln(x)5x4+6x1=limx+x4(3ln(x)x45x4x4+6xx41x4){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 3\ln \left(x\right)-5x^{4} +6x-1={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x^{4} \left(\frac{3\ln \left(x\right)}{x^{4} } -\frac{5x^{4} }{x^{4} } +\frac{6x}{x^{4} } -\frac{1}{x^{4} } \right)
    limx+3ln(x)5x4+6x1=limx+x4(3ln(x)x45+6x31x4){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 3\ln \left(x\right)-5x^{4} +6x-1={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x^{4} \left(\frac{3\ln \left(x\right)}{x^{4} } -5+\frac{6}{x^{3} } -\frac{1}{x^{4} } \right)
      Pour tout nombre entier nn strictement positif, on a :
  • limx+ln(x)xn=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x^{n} }=0
  • D'après le rappel, on a : limx+ln(x)x4=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x^{4} }=0 . Il vient alors que :
    limx+x4=+limx+3ln(x)x45+6x31x4=5}par produit\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{4}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3\ln \left(x\right)}{x^{4} } -5+\frac{6}{x^{3} } -\frac{1}{x^{4} }} & {=} & {-5 } \end{array}\right\}{\red{\text{par produit}}}
    limx+x4(3ln(x)x45+6x31x4)={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x^{4} \left(\frac{3\ln \left(x\right)}{x^{4} } -5+\frac{6}{x^{3} } -\frac{1}{x^{4} } \right)=-\infty

    Finalement :
    limx+3ln(x)5x4+6x1={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 3\ln \left(x\right)-5x^{4} +6x-1=-\infty