Fonction logarithme népérien

Limites - Exercice 2

10 min
25
Déterminer les limites suivantes.
Question 1

lim⁡x→+∞2x+ln⁡(x)x2{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 2x+\frac{\ln \left(x\right)}{x^{2} }

Correction
    Pour tout nombre entier nn strictement positif, on a :
  • lim⁡x→+∞ln⁡(x)xn=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x^{n} }=0
    • lim⁡x→+∞2x=+∞lim⁡x→+∞ln⁡(x)x2=0}par addition\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x^{2} }} & {=} & {0 } \end{array}\right\}{\text{par addition}}
    lim⁡x→+∞2x+ln⁡(x)x2=+∞{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 2x+\frac{\ln \left(x\right)}{x^{2} }=+\infty
    Question 2

    lim⁡x→0+4+x4ln⁡(x){\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} 4+x^{4} \ln \left(x\right)

    Correction
      Pour tout nombre entier nn strictement positif, on a :
  • lim⁡x→0+xnln⁡(x)=0\lim\limits_{x\to 0^{+}} x^{n} \ln \left(x\right)=0
    • lim⁡x→0+4=4lim⁡x→0+x4ln⁡(x)=0}par addition\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 0^{+} } 4} & {=} & {4} \\ {\lim\limits_{x\to 0^{+} } x^{4} \ln \left(x\right)} & {=} & {0 } \end{array}\right\}{\text{par addition}}
    lim⁡x→0+4+x4ln⁡(x)=4{\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} 4+x^{4} \ln \left(x\right)=4
    Question 3

    lim⁡x→0+(2x3−4x2+3x)ln⁡(x){\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} \left(2x^{3} -4x^{2} +3x\right)\ln \left(x\right)

    Correction
    lim⁡x→0+2x3−4x2+3x=0lim⁡x→0+ln⁡(x)=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 0^{+} } 2x^{3} -4x^{2} +3x} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to 0^{+} } \ln \left(x\right)} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}
    Nous rencontrons une forme indéterminée.
    Pour lever cette indétermination, il va falloir ici développer l'expression. Ce qui nous donne :
    lim⁡x→0+(2x3−4x2+3x)ln⁡(x)=lim⁡x→0+(2x3ln⁡(x)−4x2ln⁡(x)+3xln⁡(x)){\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} \left(2x^{3} -4x^{2} +3x\right)\ln \left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} \left(2x^{3} \ln \left(x\right)-4x^{2} \ln \left(x\right)+3x\ln \left(x\right)\right)
      Pour tout nombre entier nn strictement positif, on a :
  • lim⁡x→0+xnln⁡(x)=0\lim\limits_{x\to 0^{+}} x^{n} \ln \left(x\right)=0
    • D'après le rappel, il en résulte donc que :
    lim⁡x→0+2x3ln⁡(x)=0\lim\limits_{x\to 0^{+}} 2x^{3} \ln \left(x\right)=0
    lim⁡x→0+−4x2ln⁡(x)=0\lim\limits_{x\to 0^{+}} -4x^{2} \ln \left(x\right)=0
    lim⁡x→0+3xln⁡(x)=0\lim\limits_{x\to 0^{+}} 3x \ln \left(x\right)=0
    Ainsi : lim⁡x→0+(2x3ln⁡(x)−4x2ln⁡(x)+3xln⁡(x))=0{\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} \left(2x^{3} \ln \left(x\right)-4x^{2} \ln \left(x\right)+3x\ln \left(x\right)\right)=0
    Finalement :
    lim⁡x→0+(2x3−4x2+3x)ln⁡(x)=0{\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} \left(2x^{3} -4x^{2} +3x\right)\ln \left(x\right)=0