Fonction logarithme népérien

Exercices types : 22ème partie

Exercice 1

La chocolaterie Delmas décide de commercialiser de nouvelles confiseries : des palets au chocolat en forme de goutte d’eau. Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte suivante : pour que cette gamme de bonbons soit rentable, la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins 8080 avec 11 litre de pâte liquide au chocolat.
Partie A : modélisation par une fonction.
Le demi-contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction ff définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par : f(x)=x22x23ln(x)xf\left(x\right)=\frac{x^{2} -2x-2-3\ln \left(x\right)}{x}.
La représentation graphique de la fonction ff est donnée ci-dessous.
Le repère est orthogonal d’unité 22 cm en abscisses et 11 cm en ordonnées.
1

Soit φ\varphi la fonction définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par: φ(x)=x21+3ln(x)\varphi\left(x\right)=x^{2}-1+3\ln \left(x\right) . Calculer φ(1)\varphi\left(1\right) et la limite de φ\varphi en 00 et ++\infty.

Correction
2

Étudier les variations de φ\varphi sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[. En déduire le signe de φ(x)\varphi\left(x\right) selon les valeurs de xx.

Correction
3

Calculer les limites de ff aux bornes de son ensemble de définition.

Correction
4

Montrer que sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ : f(x)=φ(x)x2f'\left(x\right)=\frac{\varphi \left(x\right)}{x^{2}}. En déduire le tableau de variation de ff.

Correction
5

Prouver que l’équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet une unique solution α\alpha sur ]0;1]\left]0;1 \right]. Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de α\alpha à 10210^{-2} près. On admettra que l’équation f(x)=0f\left(x\right)=0 a également une unique solution β\beta sur [1;+[\left[1;+\infty \right[ avec β3,61\beta\approx3,61 à 10210^{-2} près.

Correction
6

Soit FF la fonction définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par : F(x)=12x22x2ln(x)+32(ln(x))2F\left(x\right)=\frac{1}{2} x^{2} -2x-2\ln \left(x\right)+\frac{3}{2}\left(\ln \left(x\right)\right)^{2}.
Montrer que FF est une primitive de ff sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[.

Correction
Partie B: résolution du problème.
Dans cette partie, les calculs seront effectués avec les valeurs approchées à 10210^{-2} près de α\alpha et β\beta de la partie A.
7

Pour obtenir la forme de la goutte, on considère la courbe représentative CC de la fonction ff restreinte à l’intervalle [α;β]\left[\alpha;\beta \right] ainsi que son symétrique CC' par rapport à l’axe des abscisses. Les deux courbes CC et CC' délimitent la face supérieure du palet. Pour des raisons esthétiques, le chocolatier aimerait que ses palets aient une épaisseur de 0,50,5 cm. Dans ces conditions, la contrainte de rentabilité serait-elle respectée?

Correction

Exercice 2

On considère la fonction ff définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par : f(x)=(ln(x))2xf\left(x\right)=\frac{\left(\ln \left(x\right)\right)^{2} }{x}.
On note CC la courbe représentative de ff dans un repère orthonormé.
1

Déterminer la limite en 00 de la fonction ff et interpréter graphiquement le résultat.

Correction
2

Démontrer que, pour tout xx appartenant à ]0;+[\left]0;+\infty \right[, f(x)=(ln(x)x)2f\left(x\right)=\left(\frac{\ln \left(\sqrt{x} \right)}{\sqrt{x} } \right)^{2}

Correction
3

En déduire que l’axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonction ff au voisinage de ++\infty.

Correction
4

Calculer f(1)f\left(1\right) et f(e2)f\left(e^{2}\right)

Correction
On admet que ff est dérivable sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ et on note ff' sa fonction dérivée.
5

Démontrer que, pour tout xx appartenant à ]0;+[\left]0;+\infty \right[, f(x)=ln(x)(2ln(x))x2f'\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)\left(2-\ln \left(x\right)\right)}{x^{2} }

Correction
6

Dresser alors le tableau de variation complet de ff.

Correction
7

Démontrer que l’équation f(x)=1f\left(x\right)=1 admet une unique solution α\alpha sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ et donner un encadrement de α\alpha d’amplitude 10210^{-2}.

Correction

Exercice 3

PARTIE A
ff est une fonction définie et dérivable sur l’intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[.
ff' désigne la fonction dérivée de ff.
  • CC est la représentation graphique de la fonction ff dans un repère orthonormal.
  • TT est la tangente à CC au point de coordonnées (1;1)\left(1; -1\right).
  • TT passe par le point de coordonnées (0;1)\left(0; 1\right).
1

Par lecture graphique, déterminer f(1)f\left(1\right).

Correction
2

Déterminer f(1)f'\left(1\right).

Correction
3

Donner une équation de TT.

Correction
On sait que f(x)f\left(x\right) est de la forme f(x)=2ln(x)+ax+bf\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+\frac{a}{x} +baa et bb sont des nombres réels.
4

Calculer f(x)f'\left(x\right).

Correction
5

Déterminer alors les valeurs de aa et bb.

Correction
PARTIE B.
Soit la fonction ff définie et dérivable sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=2ln(x)+4x5f\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+\frac{4}{x} -5.
6

Calculer la valeur exacte de f(2)f\left(2\right).

Correction
7

Déterminer limx+f(x)\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right).

Correction
8

Déterminer limx0+f(x)\lim\limits_{x\to 0^{+}} f\left(x\right)

Correction
9

Calculer f(x)f'\left(x\right).

Correction
10

Etudiez les variations de ff sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[.

Correction
Soit la fonction FF définie et dérivable sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par F(x)=(2x+4)ln(x)7xF\left(x\right)=\left(2x+4\right)\ln \left(x\right)-7x.
11

Montrer que FF est une primitive de ff sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[.

Correction
12

Déterminer l’aire AA du domaine limité par la courbe CC , l’axe des abscisses et les droites d’équation x=1x=1 et x=3x=3 en unités d’aires. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10210^{-2} près de AA.

Correction
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