Sur
]−21;21[, la fonction
g est continue et strictement croissante.
De plus,
x→−21+limg(x)=−∞ et
g(21)=ln(2)−21.
Or
0∈]−∞;ln(2)−21[, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution
α dans
]−21;21[ tel que
g(x)=0.
Or
g(0)=ln(1+2×0)−0⇔g(0)=0.
Donc
0 est une solution de l'équation
g(x)=0.
Sur
]21;+∞[, la fonction
g est continue et strictement décroissante.
De plus,
g(21)=ln(2)−21et
x→+∞limg(x)=−∞ .
Or
0∈]−∞;ln(2)−21[, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution
β dans
]21;+∞[ tel que
g(x)=0.
A la calculatrice, on vérifie que :
g(1,25)≈0,0027 et
g(1,26)≈−0,001 .
Or
0∈]−0,001;0,0027], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que :
1,25≤β≤1,26