Commençons par calculer les limites aux bornes du domaine de définition.
Calculons d’une part : x→0+lim2x3−1+2ln(x)x→0+lim2x3−1x→0+lim2ln(x)==−1−∞}par additionx→0+lim2x3−1+2ln(x)=−∞ On en déduit que la courbe admet une asymptote verticale d'équation
x=0.
Calculons d’autre part : x→+∞lim2x3−1+2ln(x)x→+∞lim2x3−1x→+∞lim2ln(x)==+∞+∞}par additionx→+∞lim2x3−1+2ln(x)=+∞ Dressons le tableau de variation en intégrant les limites :
Sur
]0;+∞[, la fonction
g est continue et strictement croissante.
De plus,
x→0+limg(x)=−∞ et
x→+∞limg(x)=+∞ . Or
0∈]−∞;+∞[, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution
α dans
]0;+∞[ tel que
g(x)=0.
A la calculatrice, on vérifie que :
g(0,86)≈−0,029 et
g(0,87)≈0,038 .
Or
0∈]−0,029;0,038], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que :
0,86≤α≤0,87