Fonction logarithme népérien

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

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On considère la fonction ff définie sur l'intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=ln(x)+ax+bf\left(x\right)=\ln \left(x\right)+ax+baa et bb sont deux réels.
Question 1

Nous savons que f(1)=2f\left(1\right)=2 et f(1)=5f'\left(1\right)=5.
Déterminer les valeurs des réels aa et bb.

Correction
Soit : f(x)=ln(x)+ax+bf\left(x\right)=\ln \left(x\right)+ax+b
La fonction ff est dérivable sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[.
Il vient alors que : f(x)=1x+af'\left(x\right)=\frac{1}{x}+a
Or :
f(1)=5(11+a=5)f'\left(1\right)=5\Leftrightarrow \left(\frac{1}{1} +a=5\right). Il vient alors que :
a=4a=4

De plus :
f(1)=2(ln(1)+a×1+b=2)f\left(1\right)=2\Leftrightarrow \left(\ln \left(1\right)+a\times 1+b=2\right). Ainsi : a+b=2a+b=2.
Nous savons, que a=4a=4, ainsi :
a+b=24+b=2b=2a+b=2\Leftrightarrow 4+b=2 \Leftrightarrow b=-2

La fonction ff s'écrit alors :
f(x)=ln(x)+4x2f\left(x\right)=\ln \left(x\right)+4x-2