Fonction logarithme népérien

Etudes de fonctions - Exercice 7

15 min
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Question 1
Soit la fonction ff définie sur ]0;10]\left]0 ;10\right] par f(x)=−xln⁡(x)+2x+1f\left(x\right)=-x\ln \left(x\right)+2x+1
Soit la fonction FF définie sur ]0;10]\left]0 ;10\right] par F(x)=−x22ln⁡(x)+54x2+x−7F\left(x\right)=-\frac{x^{2} }{2} \ln \left(x\right)+\frac{5}{4} x^{2} +x-7 .

Montrer que FF est une primitive de la fonction ff sur l’intervalle ]0;10]\left]0 ;10\right].

Correction
Dans le cas où une primitive FF est donnée, il vous suffit de dériver FF et d'obtenir comme résultat ff.
Autrement dit, il faut que : F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
Soit F(x)=−x22ln⁡(x)+54x2+x−7F\left(x\right)=-\frac{x^{2} }{2} \ln \left(x\right)+\frac{5}{4} x^{2} +x-7. FF est dérivable sur ]0;10]\left]0 ;10\right]
F′(x)=−2x2×ln⁡(x)−x22×1x+54×2x+1F'\left(x\right)=\frac{-2x}{2} \times \ln \left(x\right)-\frac{x^{2} }{2} \times \frac{1}{x} +\frac{5}{4} \times 2x+1
F′(x)=−xln⁡(x)−x2+52x+1F'\left(x\right)=-x\ln \left(x\right)-\frac{x}{2} +\frac{5}{2} x+1
F′(x)=−xln⁡(x)+2x+1F'\left(x\right)=-x\ln \left(x\right)+2x+1
F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)

Donc FF est bien une primitive de la fonction ff sur l’intervalle ]0;10]\left]0 ;10\right]
Question 2

Calculer la valeur exacte de I=∫12f(x)dxI=\int _{1}^{2}f\left(x\right) dx.

Correction
  • Comment calculer l'intégrale I=∫abf(x)dxI=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
  • 1ère étape : on calcule une primitive de ff notée FF. On écrira ensuite I=[F(x)]abI=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
  • 2ème étape : I=F(b)−F(a)I=F\left(b\right)-F\left(a\right) et on effectue le calcul numérique.
Soit f(x)=−xln⁡x+2x+1f\left(x\right)=-x\ln x+2x+1 alors F(x)=−x22ln⁡(x)+54x2+x−7F\left(x\right)=-\frac{x^{2} }{2} \ln \left(x\right)+\frac{5}{4} x^{2} +x-7.
Il vient alors que :
I=∫12f(x)dxI=\int _{1}^{2}f\left(x\right) dx équivaut successivement à :
I=[F(x)]12I=\left[F\left(x\right)\right]_{1}^{2}
I=F(2)−F(1)I=F\left(2\right)-F\left(1\right)
I=−222ln⁡(2)+54×22+2−7−(−122ln⁡(1)+54×12+1−7)I=-\frac{2^{2} }{2} \ln \left(2\right)+\frac{5}{4} \times 2^{2} +2-7-\left(-\frac{1^{2} }{2} \ln \left(1\right)+\frac{5}{4} \times 1^{2} +1-7\right)
I=−2ln⁡(2)+5+2−7−(−122×0+54+1−7)I=-2\ln \left(2\right)+5+2-7-\left(-\frac{1^{2} }{2} \times 0+\frac{5}{4} +1-7\right)
I=−2ln⁡(2)−(−194)I=-2\ln \left(2\right)-\left(-\frac{19}{4} \right)
I=−2ln⁡(2)+194I=-2\ln \left(2\right)+\frac{19}{4}
Finalement :
I=−2ln⁡(2)+194I=-2\ln \left(2\right)+\frac{19}{4}

Question 3

En déduire la valeur moyenne de ff sur l'intervalle [1;2]\left[1 ;2\right].

Correction
ff une fonction continue sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right].
La valeur moyenne de la fonction ff sur [a;b]\left[a;b\right] est le réel mm défini par m=1b−a∫abf(x)dxm=\frac{1}{b-a} \int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
Dans notre situation, nous avons donc :
m=12−1∫12f(x)dxm=\frac{1}{2-1} \int _{1}^{2}f\left(x\right) dx
Ainsi :
m=11×(−2ln⁡(2)+194)m=\frac{1}{1} \times\left(-2\ln \left(2\right)+\frac{19}{4}\right)
qui correspond à la valeur exacte.
m≈3,36m\approx3,36
qui correspond à un arrondi à 10−210^{-2} près.