Etudes de fonctions - Exercice 2

$$\red{\text{ Calculons d'une part :}}$$ $$\lim\limits_{x\to 0^{+} } 2x\ln x-3$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 0^{+} } 2x\ln x} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to 0^{+} } -3} & {=} & {-3} \end{array}\right\}{\text{par addition}}$$
$$\red{\text{ Calculons d'autre part :}}$$ $$\lim\limits_{x\to +\infty } 2x\ln x-3$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x\ln x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -3} & {=} & {-3} \end{array}\right\}{\text{par addition}}$$

On reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=2x$$ et $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=2$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=2\times \ln \left(x\right)+2x\times \frac{1}{x} \Leftrightarrow$$
$$2\ln \left(x\right)+2\ge 0\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\ge -\frac{2}{2} \Leftrightarrow \ln \left(x\right)\ge -1\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\ge \ln \left(e^{-1} \right)\Leftrightarrow x\ge e^{-1}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$2\ln \left(x\right)+2$$ dès que $$x\ge e^{-1}$$

De plus $$f\left(e^{-1} \right)=2\left(e^{-1} \right)\ln \left(e^{-1} \right)-3\Leftrightarrow$$$$f\left(e^{-1} \right)=-2e^{-1} -3$$

Sur $$\left]0;e^{-1} \right]$$, la fonction $$f$$est continue et admet $$-3$$ comme maximum.
La fonction $$f$$ est strictement négative.
Donc l'équation $$f\left(x\right)=0$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
Sur $$\left[e^{-1} ;+\infty \right[$$, la fonction $$f$$ est continue et strictement croissante.
De plus, $$f\left(e^{-1} \right)=-2e^{-1} -3$$ et $$\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty$$ . Or $$0\in \left[-2e^{-1} -3;+\infty \right[$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\left]0;+\infty \right[$$ tel que $$f\left(x\right)=0$$.
A la calculatrice, on vérifie que
$$f\left(2,06\right)\approx -0,022$$ et $$f\left(2,07\right)\approx 0,012$$ .
Or $$0\in \left]-0,022;0,012\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que

Sur $$\left]0;e^{-1} \right]$$, la fonction $$f$$est continue et admet $$-3$$ comme maximum.
La fonction $$f$$ est strictement négative.
Sur $$\left[e^{-1} ;+\infty \right[$$, la fonction $$f$$est continue et strictement croissante et $$f\left(\alpha \right)=0$$.
Donc $$f\left(x\right)\le 0$$ pour tout $$x\in \left[e^{-1} ;\alpha \right]$$ et $$f\left(x\right)\ge 0$$ pour tout $$x\in \left[\alpha ;+\infty \right[$$.
On résume cela dans un tableau de signe :