Fonction logarithme népérien

Etudes de fonctions

Exercice 1

Partie A
Soit gg la fonction définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par g(x)=x2+x2+2lnxg\left(x\right)=x^{2}+x-2+2\ln x .
1

Calculer les limites de gg en 00 et ++\infty .

Correction
2

Etudiez les variations de gg.

Correction
3

Vérifier que g(1)=0g\left(1\right)=0

Correction
4

En déduire le signe de gg sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[.

Correction
Partie B
On considère la fonction ff définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par : f(x)=x+(12x)lnxf\left(x\right)=x+\left(1-\frac{2}{x} \right)\ln x
5

Calculer la limite de ff en 00. Que peut-on en déduire graphiquement?

Correction
6

Calculer la limite de ff en ++\infty.

Correction
7

Montrer que f(x)=g(x)xf'\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{x} pour tout xx appartenant à ]0;+[\left]0;+\infty \right[

Correction
8

En déduire les variations de ff sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[.

Correction

Exercice 2

Soit ff la fonction définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=2xlnx3f\left(x\right)=2x\ln x-3 .
1

Calculer les limites de ff en 00 et ++\infty .

Correction
2

Etudiez les variations de ff.

Correction
3

Démontrez que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet une unique solution α]0;+[\alpha \in \left]0;+\infty \right[.
Donnez un encadrement de α\alpha à 10210^{-2} près.

Correction
4

En déduire le signe de ff sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[

Correction

Exercice 3

Soit ff la fonction définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=3x(2ln(2x))f\left(x\right)=3x\left(2-\ln \left(2x\right)\right) .
1

Résoudre l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0

Correction
2

Déterminer la limite de ff en 00.

Correction
3

Déterminer la limite de ff en ++\infty.

Correction
4

Etudiez les variations de ff.

Correction

Exercice 4

Soit ff la fonction définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=x2+2x14lnxf\left(x\right)=x^{2}+2x-1-4\ln x . On note CfC_{f} la courbe représentative de la fonction ff.
1

Calculer f(x)f'\left(x\right).

Correction
2

Dresser le tableau de variation de ff.

Correction
3

En déduire le signe de ff.

Correction
4

Déterminer une équation de la tangente (T)\left(T\right) à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 22.

Correction

Exercice 5

Soit la fonction gg définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par : g(x)=ln(x)+x1g\left(x\right)=\ln \left(x\right)+x-1. On note CgC_{g} la courbe représentative de la fonction gg.
1

Calculer les limites de gg aux bornes de son domaine de définition.

Correction
2

Etudier les variations de la fonction gg.

Correction
3

Calculer g(1)g\left(1\right) et en déduire le signe de gg sur l'intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[.

Correction
Soit ff la fonction définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=x1xln(x)f\left(x\right)=\frac{x-1}{x} \ln \left(x\right) . On note CfC_{f} la courbe représentative de la fonction ff.
4

Montrer que pour tout réel xx appartenant à ]0;+[\left]0;+\infty \right[ on a : f(x)=g(x)x2f'\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{x^{2} }.

Correction
5

En déduire les variations de ff sur l'intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[.

Correction

Exercice 6

PARTIE A
On considère la fonction gg définie sur l'intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par g(x)=22x22ln(x)g\left(x\right)=2-2x^{2}-2\ln \left(x\right).
1

Calculer la dérivée de la fonction gg et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction gg.

Correction
2

Calculer g(1)g\left(1\right). En déduire le signe de g(x)g\left(x\right) pour xx appartenant à l’intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[.

Correction
PARTIE B
Soit ff la fonction définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=ln(x)xx+12f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{x} -x+\frac{1}{2} . On note CfC_{f} sa courbe représentative dans un repère du plan.
3

Calculer la limite de ff en 00. Que peut-on en déduire graphiquement?

Correction
4

Calculer la limite de ff en ++\infty.

Correction
5

Montrer, que pour tout réel xx appartenant à l'intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[, on a : f(x)=g(x)2x2f'\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{2x^{2}}.

Correction
6

Dresser le tableau de variation de ff.

Correction
7

Déterminer une équation de la tangente (T)\left(T\right) à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 11.

Correction

Exercice 7

Soit la fonction ff définie sur ]0;10]\left]0 ;10\right] par f(x)=xln(x)+2x+1f\left(x\right)=-x\ln \left(x\right)+2x+1
Soit la fonction FF définie sur ]0;10]\left]0 ;10\right] par F(x)=x22ln(x)+54x2+x7F\left(x\right)=-\frac{x^{2} }{2} \ln \left(x\right)+\frac{5}{4} x^{2} +x-7 .
1

Montrer que FF est une primitive de la fonction ff sur l’intervalle ]0;10]\left]0 ;10\right].

Correction
2

Calculer la valeur exacte de I=12f(x)dxI=\int _{1}^{2}f\left(x\right) dx.

Correction
3

En déduire la valeur moyenne de ff sur l'intervalle [1;2]\left[1 ;2\right].

Correction
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