Epreuve d'enseignement de spécialité Session 7 Juin 2021 Exercice A - Exercice 1

Le nombre dérivée de la fonction $$f$$ au point $$0$$ est par définition le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $$f$$ au point d’abscisse $$0$$.
Il se note $$f'\left(0\right)$$.
D'après la lecture graphique, on lit alors que :

D'après le graphique, on peut lire que :

• si $$x\in\left]-\infty;-2\right]$$ alors $$f'$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[-2;1\right]$$ alors $$f'$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[1;+\infty\right[$$ alors $$f'$$ est décroissante sur cet intervalle.

Pour étudier la convexité de la fonction $$f$$, nous allons utiliser les variations de $$f'$$.
D'après le tableau de variation de $$f'$$, on en déduit : La fonction $$f$$ est convexe sur l'intervalle $$\left[-2;1\right]$$ .

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}{-\infty}}} x^2+x+\frac{5}{2}=\lim\limits_{x\to {\color{red}{-\infty}}} x^2= {\color{blue}{+\infty}}$$.
On pose $$X=x^2+x+\frac{5}{2}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}{+\infty}} } \ln \left(X\right) ={\color{green}{+\infty}}$$.
Par composition :

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}{+\infty}}} x^2+x+\frac{5}{2}=\lim\limits_{x\to {\color{red}{+\infty}}} x^2= {\color{blue}{+\infty}}$$.
On pose $$X=x^2+x+\frac{5}{2}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}{+\infty}} } \ln \left(X\right) ={\color{green}{+\infty}}$$.
Par composition :

La fonction $$f$$ est définie sur $$\mathbb{R}$$ par $$f\left(x\right)=\ln\left(x^2+x+\frac{5}{2}\right)$$ .
La fonction $$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .
On a : $$u\left(x\right)=x^2+x+\frac{5}{2}$$ et $$u'\left(x\right)=2x+1$$
Ainsi :

Soit $$f'\left(x\right)=\frac{2x+1}{x^2+x+\frac{5}{2}}$$
Pour tout réel $$x$$, le dénominateur $$x^2+x+\frac{5}{2}$$ est strictement positif car la fonction $$x\mapsto \ln\left(x^2+x+\frac{5}{2}\right)$$ est définie sur $$\mathbb{R}$$ d'après les hypothèses initiales de la question $$4$$.
Le signe de $$f'$$ dépend alors du numérateur $$2x+1$$.
$$2x+1>0 \Leftrightarrow 2x>-1 \Leftrightarrow x>-\frac{1}{2}$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$2x+1$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$-\frac{1}{2}$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;-\frac{1}{2}\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[-\frac{1}{2};+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
De plus :
$$f\left(-\frac{1}{2}\right)={\mathrm{ln} \left({\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}\right)\ }$$
$$f\left(-\frac{1}{2}\right)={\mathrm{ln} \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}\right)\ }$$
$$f\left(-\frac{1}{2}\right)={\mathrm{ln} \left(\frac{9}{4}\right)\ }$$

D'après la question précédente, on a vu que : $$f\left(-\frac{1}{2}\right)={\mathrm{ln} \left(\frac{9}{4}\right)\ }\approx 0,81$$

Sur $$\left[-\frac{1}{2};+\infty\right[$$ , la fonction $$f$$ est continue et strictement croissante.
De plus, $$f\left(-\frac{1}{2}\right)={\mathrm{ln} \left(\frac{9}{4}\right)\ }$$ et $$\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty$$ . Or $$2\in \left[{\mathrm{ln} \left(\frac{9}{4}\right)\ };+\infty \right[$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ appartenant à $$\left[-\frac{1}{2};+\infty\right[$$ tel que $$f\left(x\right)=2$$.

A la calculatrice, on vérifie que :
$$f\left(1,76\right)\approx 1,995$$ et $$f\left(1,77\right)\approx 2,002$$ .
Or $$2\in \left]1,995;2,002\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que :

D'après les hypothèses, on sait que, pour tout réel $$x$$, on a : $$f''\left(x\right)=\frac{-2x^2-2x+4}{\left(x^2+x+\frac{5}{2}\right)^{2}}$$.
Nous allons étudier le signe de $$f''$$ .
Pour tout réel $$x$$, le dénominateur $$x^2+x+\frac{5}{2}$$ est strictement positif car la fonction $$x\mapsto \ln\left(x^2+x+\frac{5}{2}\right)$$ est définie sur $$\mathbb{R}$$ d'après les hypothèses initiales de la question $$4$$.
Ainsi : $$\left(x^2+x+\frac{5}{2}\right)^{2}>0$$
Le signe de $$f''$$ dépend alors du numérateur $$-2x^2-2x+4$$.
C'est une équation du second degré, on calcule le discriminant et on détermine les racines.
Ainsi : $$\Delta = 36$$ , il existe donc deux racines réelles distinctes telles que : $$x_{1} = -2$$ et $$x_{2} = 1$$.
Comme $$a=-2<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f''$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de signe de $$f''$$ et l'étude de la convexité de $$f$$ .
$$f$$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $$-2$$. En effet , la dérivée seconde change bien de signe en $$-2$$.
$$f$$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $$1$$. En effet , la dérivée seconde change bien de signe en $$1$$.
La courbe admet donc deux points d'inflexion.