Epreuve d'enseignement de spécialité Session 15 Mars 2021 sujet 1 Exercice B Principaux domaines abordés : Fonction logarithme ; convexité - Exercice 1

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x+4} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -4\ln \left(x\right)} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -\frac{3}{x}} & {=} & {0 }\end{array}\right\}$$ Nous rencontrons une forme indéterminée.
Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser l'expression $$x+4-4\ln \left(x\right)$$ par $$x$$.
Il vient alors que :
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x+4-4\ln \left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x\left(\frac{x+4-4\ln \left(x\right)}{x} \right)$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x+4-4\ln \left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x\left(\frac{x}{x} +\frac{4}{x} -\frac{4\ln \left(x\right)}{x} \right)$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x+4-4\ln \left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x\left(1+\frac{4}{x} -\frac{4\ln \left(x\right)}{x} \right)$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 1+\frac{4}{x} -\frac{4\ln \left(x\right)}{x} } & {=} & {1} \end{array}\right\}{\text{par produit}}$$
Ainsi :
Finalement : $${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x+4-4\ln \left(x\right)-\frac{3}{x}=+\infty$$ c'est à dire :

$$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty\right[$$
$$f'\left(x\right)=1-4\times \frac{1}{x} -\left(-\frac{3}{x^{2} } \right)$$
$$f'\left(x\right)=1-\frac{4}{x} +\frac{3}{x^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=1-\frac{4}{x} +\frac{3}{x^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{x^{2} }{x^{2} } -\frac{4\times x}{x\times x} +\frac{3}{x^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{x^{2} }{x^{2} } -\frac{4x}{x^{2} } +\frac{3}{x^{2} }$$
Finalement :

D'après la question précédente, nous savons que : $$f'\left(x\right)=\frac{x^{2} -4x+3}{x^{2} }$$
Pour tout réel $$x>0$$, on a : $$x^{2}>0$$
Le signe de $$f'$$ dépend alors de $$x^{2} -4x+3$$.
Nous allons utiliser le discriminant pour étudier le signe de $$x^{2} -4x+3$$ .
$$\Delta =\left(-4\right)^{2}-4\times1\times3=4$$
$$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{1} =\frac{-\left(-4\right)-\sqrt{4} }{2\times 1}$$ d'où $$x_{1} =1$$
$$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{2} =\frac{-\left(-4\right)+\sqrt{4} }{2\times 1}$$ d'où $$x_{2} =3$$
Comme $$a=1>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On dresse ci dessous le tableau de variation de $$f$$.
De plus :

$$f\left(1\right)=1+4-4\ln \left(1\right)-\frac{3}{1} \Leftrightarrow f\left(1\right)=1+4-3\Leftrightarrow f\left(1\right)=2$$

$$f\left(3\right)=3+4-4\ln \left(3\right)-\frac{3}{3} \Leftrightarrow f\left(3\right)=3+4-4\ln \left(3\right)-1\Leftrightarrow f\left(3\right)=6-4\ln \left(3\right)$$

D'après la question $$3$$, nous savons que $$f\left(3\right)=6-4\ln \left(3\right)$$ et $$f\left(3\right)\approx1,61$$ à $$10^{-2}$$ près.
De plus $$\frac{5}{3}\approx1,66$$ à $$10^{-2}$$ près.
Il existe donc $$\red{\text{trois}}$$ solutions à l'équation $$f\left(x\right)=\frac{5}{3}$$ .

Pour étudier la convexité de la fonction $$f$$, il faut étudier le signe de $$f''$$. Il va donc falloir calculer la dérivée seconde de $$f$$.
Soit $$f'\left(x\right)=\frac{x^{2} -4x+3}{x^{2} }$$ .
Ici on reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }}$$ avec $$u\left(x\right)=x^{2} -4x+3$$ et $$v\left(x\right)=x^{2}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=2x-4$$ et $$v'\left(x\right)=2x$$.
Il vient alors que :
$$f''\left(x\right)=\frac{\left(2x-4\right)\times x^{2} -\left(x^{2} -4x+3\right)\times 2x}{\left(x^{2} \right)^{2} }$$
$$f''\left(x\right)=\frac{2x^{3} -4x^{2} -\left(2x^{3} -8x^{2} +6x\right)}{x^{4} }$$
$$f''\left(x\right)=\frac{2x^{3} -4x^{2} -2x^{3} +8x^{2} -6x}{x^{4} }$$
$$f''\left(x\right)=\frac{4x^{2} -6x}{x^{4} }$$
$$f''\left(x\right)=\frac{x\left(4x-6\right)}{x^{4} }$$
$$f''\left(x\right)=\frac{x\left(4x-6\right)}{x\times x^{3} }$$
Ainsi :
Soit $$x\in\left]0;+\infty\right[$$ alors $$x^{3}>0$$ . Le signe de $$f''$$ dépend du numérateur $$4x-6$$.
$$4x-6\ge 0\Leftrightarrow 4x\ge 6\Leftrightarrow x\ge \frac{6}{4} \Leftrightarrow x\ge \frac{3}{2}$$
Il vient alors que :
Ainsi :

Sur $$\left]0;\frac{3}{2}\right]$$ , $$f''\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est $$\red{\text{concave}}$$ sur ce même intervalle.

Sur $$\left[\frac{3}{2};+\infty\right]$$ , $$f''\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est $$\red{\text{convexe}}$$ sur ce même intervalle.

De plus :
Lorsque $$x=\frac{3}{2}$$ , $$f''\left(x\right)$$ $$\red{\text{change de signe}}$$ . Il en résulte donc que la fonction $$f$$ admet un point d'inflexion en $$x=\frac{3}{2}$$ .
Pour obtenir les coordonnées du point d'inflexion, il nous faut calculer $$f\left(\frac{3}{2} \right)$$ .
$$f\left(\frac{3}{2} \right)=\frac{3}{2} +4-4\ln \left(\frac{3}{2} \right)-\frac{3}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$
$$f\left(\frac{3}{2} \right)=\frac{3}{2} +4-4\ln \left(\frac{3}{2} \right)-3\times \frac{2}{3}$$
$$f\left(\frac{3}{2} \right)=\frac{11}{2} -4\ln \left(\frac{3}{2} \right)-2$$
D'où :
Les coordonnées du point d'inflexion sont alors $$\left(\frac{3}{2};\frac{7}{2} -4\ln \left(\frac{3}{2} \right)\right)$$