Epreuve d'enseignement de spécialité Session 13 septembre 2021 Exercice B Principaux domaines abordés : Fonction logarithme ; limites et dérivation - Exercice 1

Soit $$x \in \left]0;+\infty\right[$$ .
$$f\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$\frac{2\ln \left(x\right)-1}{x} =0$$
$$2\ln \left(x\right)-1=0$$ et $$x\ne0$$
Il faut donc résoudre $$2\ln \left(x\right)-1=0$$
$$2\ln \left(x\right)-1=0$$ équivaut successivement à :
$$2\ln \left(x\right)=1$$
$$\ln \left(x\right)=\frac{1}{2}$$
Ainsi : qui correspond à la valeur exacte et qui correspond la valeur arrondie au centième.

Soit $$x \in \left]0;+\infty\right[$$ .
D'après la question $$1$$, nous savons que l'équation $$f\left(x\right)=0$$ admet une unique solution $$x=e^{\frac{1}{2} }$$.
Il vient alors que :

Si $$x\in \left]0;e^{\frac{1}{2} } \right[$$ alors $$f\left(x\right)<0$$

Si $$x\in \left]e^{\frac{1}{2} } ;+\infty\right[$$ alors $$f\left(x\right)>0$$

Nous savons que $$\lim\limits_{x\to 0^{+} } \ln \left(x\right)=-\infty$$ et ainsi $$\lim\limits_{x\to 0^{+} } \left[\ln \left(x\right)\right]^{2}=+\infty$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 0^{+} } \left[\ln \left(x\right)\right]^{2}} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to 0^{+} } - \ln \left(x\right)} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}{\red{\text{par somme }}}$$
Il en résulte que la courbe représentative de la fonction $$f$$ admet une $$\purple{\text{asymptote verticale}}$$ d'équation $$x=0$$ .

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }\left[\ln \left(x\right)\right]^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -\ln \left(x\right)} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $$+\infty -\infty$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par }}$$ $$\blue{\ln \left(x\right)}$$.
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \left[\ln \left(x\right)\right]^{2} -\ln \left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \left[\ln \left(x\right)\times\left(\ln \left(x\right)-1\right)\right]$$
Il vient alors que :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty} \ln \left(x\right)-1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\red{\text{par produit} }}$$

Soit $$x \in \left]0;+\infty\right[$$ .
Pour la dérivée de $$x\mapsto \left[\ln \left(x\right)\right]^{2}$$, on applique la formule du rappel avec $$n=2$$ et $$u\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$ . Il vient alors que :
$$g'\left(x\right)=2\times \frac{1}{x} \times \ln \left(x\right)-\frac{1}{x}$$
$$g'\left(x\right)=\frac{2\ln \left(x\right)}{x} -\frac{1}{x}$$
$$g'\left(x\right)=\frac{2\ln \left(x\right)-1}{x}$$
Ainsi :

Soit $$x \in \left]0;+\infty\right[$$ .
Nous savons que $$g'\left(x\right)=f\left(x\right)$$ et d'après la question $$2$$, on a établi que :

Si $$x\in \left]0;e^{\frac{1}{2} } \right[$$ alors $$f\left(x\right)<0$$ c'est à dire $$g'\left(x\right)<0$$. Ainsi $$g$$ est décroissante sur cet intervalle.

Si $$x\in \left]e^{\frac{1}{2} } ;+\infty\right[$$ alors $$f\left(x\right)>0$$ c'est à dire $$g'\left(x\right)>0$$. Ainsi $$g$$ est croissante sur cet intervalle.

De plus :
$$g\left(e^{\frac{1}{2} }\right)=\left[\ln \left(e^{\frac{1}{2} }\right)\right]^{2} -\ln \left(e^{\frac{1}{2} }\right)$$
$$g\left(e^{\frac{1}{2} } \right)=\left(\frac{1}{2} \right)^{2} -\frac{1}{2}$$
Ainsi :
Nous allons maintenant tout indiquer dans le tableau de variation :

La fonction $$g$$ admet un minimum valant $$-0,25$$ lorsque $$x=e^{\frac{1}{2} }$$

$$\red{\text{Lorsque}}$$ $$\red{x\in \left]0;e^{\frac{1}{2} } \right]}$$

Sur $$\left]0;e^{\frac{1}{2} } \right]$$, la fonction $$g$$ est $$\pink{\text{continue}}$$ et $$\pink{\text{strictement décroissante}}$$ .
De plus, $${\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} g\left(x\right)=+\infty$$ et $$g\left(e^{\frac{1}{2} } \right)=-\frac{1}{4}$$ . Soit $$m > -0,25$$
Or $$m\in \left[-\frac{1}{4};+\infty\right[$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\beta$$ appartenant à l'intervalle $$\left]0;e^{\frac{1}{2} } \right]$$ tel que $$g\left(x\right)=m$$.

$$\red{\text{Lorsque}}$$ $$\red{x\in \left[e^{\frac{1}{2} }; +\infty \right[}$$

Sur $$\left[e^{\frac{1}{2} }; +\infty \right[$$, la fonction $$g$$ est $$\pink{\text{continue}}$$ et $$\pink{\text{strictement croissante}}$$ .
De plus, $$g\left(e^{\frac{1}{2} } \right)=-\frac{1}{4}$$ et $${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} g\left(x\right)=+\infty$$ . Soit $$m > -0,25$$
Or $$m\in \left[-\frac{1}{4};+\infty\right[$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\gamma$$ appartenant à l'intervalle $$\left[e^{\frac{1}{2} }; +\infty \right[$$ tel que $$g\left(x\right)=m$$.
Il en résulte donc que l’équation $$g\left(x\right)= m$$ admet exactement deux solutions notées $$\beta$$ et $$\gamma$$ .

$$g\left(x\right)= 0$$ équivaut successivement à :
$$\left[\ln \left(x\right)\right]^{2} -\ln \left(x\right)=0$$
$$\ln \left(x\right)\times \ln \left(x\right)-\ln \left(x\right)=0$$ . $$\;\;$$ Nous allons factoriser par $$\ln \left(x\right)$$ .
$$\ln \left(x\right)\times \left[\ln \left(x\right)-1\right]=0$$ $$\;\;$$ $$\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}$$
$$\ln \left(x\right)=0$$ ou $$\ln \left(x\right)-1=0$$

$$\text{\red{D'une part :}}$$ résolvons $$\ln \left(x\right)=0$$ qui donne $$x=e^{0}$$ . D'où : $$x=1$$

$$\text{\red{D'autre part :}}$$ résolvons $$\ln \left(x\right)-1=0$$ qui donne $$\ln \left(x\right)=1$$ . D'où : $$x=e^{1}$$

Les solutions de l'équation $$g\left(x\right)= 0$$ sont alors :