Epreuve d'enseignement de spécialité Métropole Antilles-Guyane 9 septembre 2022 : fonction logarithme, suites - Exercice 1

Soit $$f\left(x\right)=x-x\ln\left(x\right)$$ ; nous allons factoriser par $$x$$ afin de pourvoir lever la forme indéterminée.
$$f\left(x\right)=x\left(1-\ln\left(x\right)\right)$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 1-\ln \left(x\right)} & {=} & {-\infty} \end{array}\right\}{\red{\text{par produit :}}}$$

Soit $$f\left(x\right)=x-x\ln\left(x\right)$$. $$f$$ est dérivable sur $$\left]0 ; +\infty \right[$$ .
Ici on reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(w-uv\right)'=w'-\left(u'v+uv'\right)}$$ avec $$u\left(x\right)=x$$ ; $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$ et $$w\left(x\right)=x$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=1$$ ; $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$ et $$w'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=1-\left(1\times \ln \left(x\right)+x\times \frac{1}{x}\right)$$
$$f'\left(x\right)= 1-\left(\ln \left(x\right)+\frac{x}{x}\right)$$
$$f'\left(x\right)=1-\left(\ln \left(x\right)+1\right)$$
Ainsi :

Soit $$x>0$$.
Etudions le signe de $$f'$$.
$$-{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }\ge 0$$
$${\mathrm{ln} \left(x\right)\ }\le 0$$
$$e^{{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }}\le e^0$$
$$x\le 1$$
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]0;1\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ donc la fonction $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[1;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ donc la fonction $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons cela dans un tableau de variation, il vient alors que :
De plus :
$$f\left(1\right)=1-1\times\ln\left(1\right)$$ ainsi $$f\left(1\right)=1$$ .

$$x-x{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }=x$$
$$-x{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }=x-x$$
$$-x{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }=0$$
$$x{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }=0$$
On reconnait une équation produit nul :
$$x=0$$ ou $${\mathrm{ln} \left(x\right)\ }=0$$.
D'une part : $$x=0$$
D'autre part : $${\mathrm{ln} \left(x\right)\ }=0\Longleftrightarrow e^{{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }}=e^0\Longleftrightarrow x=1$$
N'oublions pas que nous travaillons sur l'intervalle $$\left]0 ; +\infty \right[$$.
il en résulte qu'il n'y a qu'une seule solution $$x=1$$.
Ainsi :

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :\frac{1}{2} \le u_{n} \le u_{n+1} \le 1$$
$$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$$
On sait que $$u_{0} =\frac{1}{2}$$ et $$u_{1} =u_0-u_0\times{\mathrm{ln} \left(u_0\right)\ }$$ ainsi $$u_{1} =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times{\mathrm{ln} \left(\frac{1}{2}\right)\ }\approx 0,85$$.
Ainsi : $$\frac{1}{2} \le u_{0} \le u_{1} \le 1$$
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire : $$\frac{1}{2} \le u_{k} \le u_{k+1} \le 1$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire : $$\frac{1}{2} \le u_{k+1} \le u_{k+2} \le 1$$
Par hypothèse de récurrence,
$$\frac{1}{2} \le u_{k} \le u_{k+1} \le 1$$ , or $$f:x\mapsto x-x\ln\left(x\right)$$ une fonction croissante sur $$\left]0;1\right]$$ et donc croissante en particulier sur $$\left[\frac{1}{2};1\right]$$. L'ordre est donc conservé , ainsi :
$$f\left(\frac{1}{2}\right) \le f\left(u_{k}\right) \le f\left(u_{k+1}\right) \le f\left(1\right)$$ . Comme $$f\left(x\right)=x-x\ln\left(x\right)$$ alors : $$f\left(u_{k} \right)=u_{k+1}$$ et $$f\left(u_{k+1} \right)=u_{k+2}$$ . Il vient alors que :
$$f\left(\frac{1}{2}\right) \le u_{k+1} \le u_{k+2} \le f\left(1\right)$$ .
De plus : $$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times{\mathrm{ln} \left(\frac{1}{2}\right)\ }\approx 0,85$$ et $$f\left(1\right)=1$$
Ainsi : $$\red{\frac{1}{2} \le}\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times{\mathrm{ln} \left(\frac{1}{2}\right)\ } \le u_{k+1} \le u_{k+2}\red{\le 1}$$
Finalement : $$\frac{1}{2} \le u_{k+1} \le u_{k+2} \le 1$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, $$0,5\le u_n\le u_{n+1}\le 1$$ .

On vient de démontrer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ était minorée par $$\frac{1}{2}$$ car : $$u_{n} \ge \frac{1}{2}$$. De plus, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est décroissante car à la question précédente nous avons montré que : $$0,5\le u_n\le u_{n+1}\le 1$$
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$\ell$$.

D'après le théorème du point fixe, $$\ell$$ est solution de l'équation
Or nous avons résolu cette équation à la question $$5$$.
La limite de la suite $$\left(u_n\right)$$ est alors .