Epreuve d'enseignement de spécialité Baccalauréat Amérique du Nord Sujet 2 - 21 mai 2026 : Principaux domaines abordés : Fonction logarithme, variations, intégration par parties - Exercice 1

Pour tout réel $$x>0$$, on pose $$g(x)=x \ln x$$
Il en résulte donc que :
$$g(\sqrt{x})=\sqrt{x} \ln (\sqrt{x})$$ .Or $$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$, d'où :
$$g(\sqrt{x})=\sqrt{x} \times \ln \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$$
$$g(\sqrt{x})=\sqrt{x} \times \frac{1}{2} \ln x$$
$$g(\sqrt{x})=\frac{1}{2}\sqrt{x} \ln x$$
Il s'ensuite que :
$$\left(g(\sqrt{x})\right)^2=\left(\frac{1}{2}\sqrt{x} \ln x\right)^2$$
$$\left(g(\sqrt{x})\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\sqrt{x} \right)^2\left(\ln x\right)^2$$
$$\left(g(\sqrt{x})\right)^2=\frac{1}{4}x\left(\ln x\right)^2$$
Enfin :
$$4\left(g(\sqrt{x})\right)^2=x\left(\ln x\right)^2$$
Ainsi, pour tout réel $$x>0$$, on a :

$$\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} 4(g(\sqrt{x}))^2$$
$$\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} 4(g(\sqrt{x}))^2$$
$$\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} 4(\sqrt{x} \ln (\sqrt{x}))^2$$
Commençons par calculer $$\lim _{x \rightarrow 0} \sqrt{x} \ln (\sqrt{x})$$.
$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}{0^+}} } \sqrt{x}={\color{blue}{0^{+}}}$$.
On pose $$X=\sqrt{x}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}{0^{+}}} } X ={\color{green}{0^+}}$$.
Par composition :
On peut maintenant écrire que : $$\lim _{X \rightarrow 0^+} X \ln (X)=0$$ ainsi par composition $$\lim _{x \rightarrow 0} \sqrt{x} \ln (\sqrt{x})$$.
Finalement :

$$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
Ici on reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'}$$ avec $$u\left(x\right)=x$$ et $$v\left(x\right)=(\ln x)^2$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=2 \times \frac{1}{x} \times \ln x=\frac{2 \ln x}{x}$$.
Il vient alors que :
$$f^{\prime}(x)=1 \times(\ln x)^2+x \times \frac{2 \ln x}{x}$$
$$f'\left(x\right)= (\ln x)^2+2 \ln x$$
$$f'\left(x\right)=\red{\ln x} \times \ln x+2 \red{\ln x}$$
Ainsi :

D'une part :
$$\ln \left(x\right)\ge 0$$
$$e^{\ln \left(x\right)} \ge e^{0}$$
$$x\ge 1$$
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]0;1\right]$$ alors $$\ln \left(x\right)\le0$$
• si $$x\in\left[1;+\infty\right[$$ alors $$\ln \left(x\right)\ge0$$

D'autre part :
$$2+\ln x\ge 0$$
$$\ln x\ge -2$$
$$e^{\ln \left(x\right)} \ge e^{-2}$$
$$x \ge e^{-2}$$
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]0;e^{-2}\right]$$ alors $$2+\ln \left(x\right)\le0$$
• si $$x\in\left[e^{-2};+\infty\right[$$ alors $$2+\ln \left(x\right)\ge0$$

Nous allons dresser le tableau de signe de $$f'\left(x\right)$$ et le tableau de variation de $$f$$.

La fonction $$f$$ admet donc un maximum en $$x=\mathrm{e}^{-2}$$.
Il vient alors que :
$$f(\mathrm{e}^{-2})=\mathrm{e}^{-2}(\ln \mathrm{e}^{-2})^2$$
$$f(\mathrm{e}^{-2})=\mathrm{e}^{-2}\times(-2)^2$$
Ainsi :

D'après la calculatrice :
$$f(2,4) \approx 1,839<2$$ et $$f(2,5) \approx 2,099>2$$.
La fonction $$f$$ étant continue et strictement croissante sur $$[1 ;+\infty[$$ alors

Soit $$f$$ une fonction continue et positive sur un intervalle $$[a ; 1]$$.
On appelle intégrale de $$f$$ sur $$[a ; 1]$$ l'aire, exprimée en u.a., de la surface délimitée par la courbe représentative de la fonction $$f$$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $$x=a$$ et $$x=1$$.

$$\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=\int_a^1 x(\ln x)^2 \mathrm{d} x$$
Pour tout réel $$x$$ de $$I=\left[a;1\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{u\left(x\right)=(\ln x)^2}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$u'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{u'\left(x\right)=\frac{2 \ln x}{x}}}$$
$${\color{purple}{v'\left(x\right)=x}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$v$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$v'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{v\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{u}$$ et $$\color{green}{v}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{u'}$$ et $$\color{purple}{v'}$$ sont continues sur $$I$$.
D'après la formule d'intégrations par parties :
$$\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=\int _{a}^{1}{\color{blue}{(\ln x)^2}}{\color{purple}{x}} dx$$
$$\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=\left[{\color{blue}{(\ln x)^2}}\times{\color{green}{\frac{1}{2}x^2}} \right]_{a}^{1} -\int _{a}^{1}{\color{red}{\frac{2 \ln x}{x}}}\times{\color{green}{\frac{1}{2}x^2}} dx$$
$$\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=\left[\frac{x^2}{2}(\ln x)^2\right]_a^1-\int_a^1 x \ln x d x$$
$$\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=\frac{1^2}{2}(\ln 1)^2-\frac{a^2}{2}(\ln a)^2-\int_a^1 x \ln x d x$$
Ainsi :

D'après la question précédente, on sait que :
$$\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=-\frac{a^2}{2}(\ln a)^2-\int_a^1 x \ln x \mathrm{~d} x$$
Il nous reste calculer $$\int_a^1 x \ln x \mathrm{~d} x$$ .
Pour tout réel $$x$$ de $$I=\left]a;1\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{u\left(x\right)=\ln\left(x\right)}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$u'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{u'\left(x\right)=\frac{1}{x}}}$$
$${\color{purple}{v'\left(x\right)=x}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$v$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$v'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{v\left(x\right)=\frac{1}{2}x^{2}}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{u}$$ et $$\color{green}{v}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{u'}$$ et $$\color{purple}{v'}$$ sont continues sur $$I$$.
$$\int _{a}^{1}{\color{purple}{x}}{\color{blue}{\ln \left(x\right)}}dx =\left[{\color{green}{\left(\frac{1}{2}x^{2}\right)}}{\color{blue}{\ln \left(x\right)}}\right]_{a}^{1} -\int _{a}^{1}\left({\color{green}{\left(\frac{1}{2}x^{2}\right)}}\times {\color{red}{\frac{1}{x}}} \right) dx$$
$$\int_a^1 x \ln x \mathrm{~d} x=\left[\frac{x^2}{2} \ln x\right]_a^1-\int_a^1 \frac{x}{2} d x$$
$$\int_a^1 x \ln x \mathrm{~d} x=\left[\frac{x^2}{2} \ln x\right]_a^1-\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^a$$
$$\int_a^1 x \ln x \mathrm{~d} x=\frac{a^2}{2} \ln a-\frac{1^2}{2} \ln 1 -\left(\frac{a^2}{4}-\frac{1}{4}\right)$$
Ainsi : $$\pink{\int_a^1 x \ln x \mathrm{~d} x=\frac{a^2}{2} \ln a-\frac{a^2}{4}+\frac{1}{4}}$$
On rappelle que :
$$\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=-\frac{a^2}{2}(\ln a)^2-\pink{\int_a^1 x \ln x \mathrm{~d} x}$$
$$\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=-\frac{a^2}{2}(\ln a)^2-\pink{\left(\frac{a^2}{2} \ln a-\frac{a^2}{4}+\frac{1}{4}\right)}$$
Finalement :

$$\lim\limits_{a\to 0 } \int_a^1 f(x) d x=\lim\limits_{a\to 0 } -\frac{a^2}{2}(\ln a)^2+\frac{a^2}{2} \ln a+\frac{1}{4}-\frac{a^2}{4}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{a\to 0^{+} } a^2(\ln a)^2} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{a\to 0^{+} } a^{2} \ln \left(a\right)} & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{a\to 0^{+} } \dfrac{1}{4}-\dfrac{a^2}{4}} & {=} & {\dfrac{1}{4} }\end{array}\right\}{\text{par addition}}$$