Epreuve d'enseignement de spécialité Baccalauréat <b> Amérique du Nord Sujet 2 - 21 mai 2026 </b>: Principaux domaines abordés : Fonction logarithme, variations, intégration par parties - Fonction logarithme népérien - Enseignement de spécialité

Question 1

Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ .

Correction

\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)=+\infty

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } (\ln x)^2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\text{par produit}}

\lim\limits_{x\to +\infty } x(\ln x)^2=+\infty

Question 2

Pour tout réel $x>0$ , on pose $g(x)=x \ln x$ . Démontrer que pour tout réel $x>0$ , on a : $f(x)=4(g(\sqrt{x}))^2$ .

Correction

Pour tout réel

x>0

, on pose

g(x)=x \ln x

Il en résulte donc que :

g(\sqrt{x})=\sqrt{x} \ln (\sqrt{x})

.Or

\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}

, d'où :

g(\sqrt{x})=\sqrt{x} \times \ln \left(x^{\frac{1}{2}}\right)

a

$\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)$

g(\sqrt{x})=\sqrt{x} \times \frac{1}{2} \ln x

g(\sqrt{x})=\frac{1}{2}\sqrt{x} \ln x

Il s'ensuite que :

\left(g(\sqrt{x})\right)^2=\left(\frac{1}{2}\sqrt{x} \ln x\right)^2

\left(g(\sqrt{x})\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\sqrt{x} \right)^2\left(\ln x\right)^2

\left(g(\sqrt{x})\right)^2=\frac{1}{4}x\left(\ln x\right)^2

Enfin :

4\left(g(\sqrt{x})\right)^2=x\left(\ln x\right)^2

Ainsi, pour tout réel

x>0

, on a :

f(x)=4(g(\sqrt{x}))^2

Question 3

En déduire $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ .

Correction

\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} 4(g(\sqrt{x}))^2

\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} 4(g(\sqrt{x}))^2

\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} 4(\sqrt{x} \ln (\sqrt{x}))^2

Commençons par calculer

\lim _{x \rightarrow 0} \sqrt{x} \ln (\sqrt{x})

.

\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}

On commence par calculer

\lim\limits_{x\to {\color{red}{0^+}} } \sqrt{x}={\color{blue}{0^{+}}}

.
On pose

X=\sqrt{x}

.
Ainsi :

\lim\limits_{X\to {\color{blue}{0^{+}}} } X ={\color{green}{0^+}}

.
Par composition :

\lim\limits_{x\to 0^+ } \sqrt{x} ={\color{green}{0^+}}

On peut maintenant écrire que :

\lim _{X \rightarrow 0^+} X \ln (X)=0

ainsi par composition

\lim _{x \rightarrow 0} \sqrt{x} \ln (\sqrt{x})

.
Finalement :

\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} 4(\sqrt{x} \ln (\sqrt{x}))^2=0

Question 4

Démontrer que sur l'intervalle $] 0 ;+\infty[$ , $f^{\prime}(x)=(\ln x)(2+\ln x) .$

Correction

f

est dérivable sur

\left]0;+\infty \right[

.

\text{\purple{Dérivée du produit}}

On considère deux fonctions

u

et

v

, dérivables sur un intervalle

I

alors

\left(uv\right)'=u'v+uv'

\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}

Ici on reconnaît la forme

\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'}

avec

u\left(x\right)=x

et

v\left(x\right)=(\ln x)^2

.
Ainsi

u'\left(x\right)=1

et

v'\left(x\right)=2 \times \frac{1}{x} \times \ln x=\frac{2 \ln x}{x}

.
Il vient alors que :

f^{\prime}(x)=1 \times(\ln x)^2+x \times \frac{2 \ln x}{x}

f'\left(x\right)= (\ln x)^2+2 \ln x

f'\left(x\right)=\red{\ln x} \times \ln x+2 \red{\ln x}

Ainsi :

f^{\prime}(x)=(\red{\ln x})(2+\ln x)

Question 5

En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $] 0 ;+\infty[$ .

Correction

D'une part :

\ln \left(x\right)\ge 0

e^{\ln \left(x\right)} \ge e^{0}

x\ge 1

Il en résulte donc que :

si $x\in\left]0;1\right]$ alors $\ln \left(x\right)\le0$
si $x\in\left[1;+\infty\right[$ alors $\ln \left(x\right)\ge0$

D'autre part :

2+\ln x\ge 0

\ln x\ge -2

e^{\ln \left(x\right)} \ge e^{-2}

x \ge e^{-2}

Il en résulte donc que :

si $x\in\left]0;e^{-2}\right]$ alors $2+\ln \left(x\right)\le0$
si $x\in\left[e^{-2};+\infty\right[$ alors $2+\ln \left(x\right)\ge0$

Nous allons dresser le tableau de signe de

f'\left(x\right)

et le tableau de variation de

f

.

Question 6

Donner la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $] 0 ; 1]$ .

Correction

La fonction

f

admet donc un maximum en

x=\mathrm{e}^{-2}

.
Il vient alors que :

f(\mathrm{e}^{-2})=\mathrm{e}^{-2}(\ln \mathrm{e}^{-2})^2

f(\mathrm{e}^{-2})=\mathrm{e}^{-2}\times(-2)^2

Ainsi :

f(\mathrm{e}^{-2})=4\mathrm{e}^{-2}

Question 7

On considère l'équation $f(x)=2$ .
Justifier que, sur l'intervalle $] 0 ;+\infty[$ , cette équation admet une unique solution. On note $\alpha$ cette solution.

Correction

Question 8

Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,1$ .

Correction

D'après la calculatrice :

f(2,4) \approx 1,839<2

et

f(2,5) \approx 2,099>2

.
La fonction

f

étant continue et strictement croissante sur

[1 ;+\infty[

alors

2,4<\alpha<2,5

Question 9

Soit $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $] 0 ; 1]$ .
Donner une interprétation géométrique de $\int_a^1 f(x) d x$ .

Correction

Soit

f

une fonction continue et positive sur un intervalle

[a ; 1]

.
On appelle intégrale de

f

sur

[a ; 1]

l'aire, exprimée en u.a., de la surface délimitée par la courbe représentative de la fonction

f

, l'axe des abscisses et les droites d'équations

x=a

et

x=1

.

Question 10

À l'aide d'une intégration par parties, justifier que : $\int_a^1 f(x) d x=-\frac{a^2}{2}(\ln a)^2-\int_1^a x \ln x d x$ .

Correction

\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=\int_a^1 x(\ln x)^2 \mathrm{d} x

\red{\text{Formule d'intégration par parties}}

\color{blue}{u}

et

\color{green}{v}

sont deux fonctions dérivables sur un intervalle

I

dont leurs dérivées

\color{red}{u'}

et

\color{purple}{v'}

sont continues sur

I

.
Pour tous réels

a

et

b

de

I

, nous avons alors :

\int _{a}^{b}{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{purple}{v'\left(x\right)}}dx =\left[{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}\right]_{a}^{b} -\int _{a}^{b}{\color{red}{u'\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}dx

Pour tout réel

x

de

I=\left[a;1\right]

, on pose :

{\color{blue}{u\left(x\right)=(\ln x)^2}}

\qquad

on détermine

u'

\blue{\text{la dérivée}}

de

u

\qquad

\qquad

\quad

{\color{red}{u'\left(x\right)=\frac{2 \ln x}{x}}}

{\color{purple}{v'\left(x\right)=x}}

\qquad

on détermine

v

\blue{\text{une primitive}}

de

v'

\qquad

\qquad

{\color{green}{v\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2}}

Les fonctions

\color{blue}{u}

et

\color{green}{v}

sont dérivables sur

I

et les fonctions

\color{red}{u'}

et

\color{purple}{v'}

sont continues sur

I

.
D'après la formule d'intégrations par parties :

\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=\int _{a}^{1}{\color{blue}{(\ln x)^2}}{\color{purple}{x}} dx

\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=\left[{\color{blue}{(\ln x)^2}}\times{\color{green}{\frac{1}{2}x^2}} \right]_{a}^{1} -\int _{a}^{1}{\color{red}{\frac{2 \ln x}{x}}}\times{\color{green}{\frac{1}{2}x^2}} dx

\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=\left[\frac{x^2}{2}(\ln x)^2\right]_a^1-\int_a^1 x \ln x d x

\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=\frac{1^2}{2}(\ln 1)^2-\frac{a^2}{2}(\ln a)^2-\int_a^1 x \ln x d x

Ainsi :

\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=-\frac{a^2}{2}(\ln a)^2-\int_a^1 x \ln x \mathrm{~d} x

Question 11

En utilisant à nouveau une intégration par parties, démontrer que :
$\int_a^1 f(x) d x=-\frac{a^2}{2}(\ln a)^2+\frac{a^2}{2} \ln a+\frac{1}{4}-\frac{a^2}{4} .$

Correction

D'après la question précédente, on sait que :

\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=-\frac{a^2}{2}(\ln a)^2-\int_a^1 x \ln x \mathrm{~d} x

Il nous reste calculer

\int_a^1 x \ln x \mathrm{~d} x

.

\red{\text{Formule d'intégration par parties}}

\color{blue}{u}

et

\color{green}{v}

sont deux fonctions dérivables sur un intervalle

I

dont leurs dérivées

\color{red}{u'}

et

\color{purple}{v'}

sont continues sur

I

.
Pour tous réels

a

et

b

de

I

, nous avons alors :

\int _{a}^{b}{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{purple}{v'\left(x\right)}}dx =\left[{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}\right]_{a}^{b} -\int _{a}^{b}{\color{red}{u'\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}dx

Pour tout réel

x

de

I=\left]a;1\right]

, on pose :

{\color{blue}{u\left(x\right)=\ln\left(x\right)}}

\qquad

on détermine

u'

\blue{\text{la dérivée}}

de

u

\qquad

\qquad

\quad

{\color{red}{u'\left(x\right)=\frac{1}{x}}}

{\color{purple}{v'\left(x\right)=x}}

\qquad

on détermine

v

\blue{\text{une primitive}}

de

v'

\qquad

\qquad

{\color{green}{v\left(x\right)=\frac{1}{2}x^{2}}}

Les fonctions

\color{blue}{u}

et

\color{green}{v}

sont dérivables sur

I

et les fonctions

\color{red}{u'}

et

\color{purple}{v'}

sont continues sur

I

.

\int _{a}^{1}{\color{purple}{x}}{\color{blue}{\ln \left(x\right)}}dx =\left[{\color{green}{\left(\frac{1}{2}x^{2}\right)}}{\color{blue}{\ln \left(x\right)}}\right]_{a}^{1} -\int _{a}^{1}\left({\color{green}{\left(\frac{1}{2}x^{2}\right)}}\times {\color{red}{\frac{1}{x}}} \right) dx

\int_a^1 x \ln x \mathrm{~d} x=\left[\frac{x^2}{2} \ln x\right]_a^1-\int_a^1 \frac{x}{2} d x

\int_a^1 x \ln x \mathrm{~d} x=\left[\frac{x^2}{2} \ln x\right]_a^1-\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^a

\int_a^1 x \ln x \mathrm{~d} x=\frac{a^2}{2} \ln a-\frac{1^2}{2} \ln 1 -\left(\frac{a^2}{4}-\frac{1}{4}\right)

Ainsi :

\pink{\int_a^1 x \ln x \mathrm{~d} x=\frac{a^2}{2} \ln a-\frac{a^2}{4}+\frac{1}{4}}

On rappelle que :

\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=-\frac{a^2}{2}(\ln a)^2-\pink{\int_a^1 x \ln x \mathrm{~d} x}

\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=-\frac{a^2}{2}(\ln a)^2-\pink{\left(\frac{a^2}{2} \ln a-\frac{a^2}{4}+\frac{1}{4}\right)}

Finalement :

\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=-\frac{a^2}{2}(\ln a)^2+\frac{a^2}{2} \ln a+\frac{1}{4}-\frac{a^2}{4}

Question 12

Déterminer la limite de $\int_a^1 f(x) d x$ quand $a$ tend vers $0$ .

Correction

\lim\limits_{a\to 0 } \int_a^1 f(x) d x=\lim\limits_{a\to 0 } -\frac{a^2}{2}(\ln a)^2+\frac{a^2}{2} \ln a+\frac{1}{4}-\frac{a^2}{4}

n

\lim\limits_{x\to 0^{+}} x^{n} \ln \left(x\right)=0

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{a\to 0^{+} } a^2(\ln a)^2} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{a\to 0^{+} } a^{2} \ln \left(a\right)} & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{a\to 0^{+} } \dfrac{1}{4}-\dfrac{a^2}{4}} & {=} & {\dfrac{1}{4} }\end{array}\right\}{\text{par addition}}

{\mathop{\lim }\limits_{a\to 0^{+} }} \int_a^1 f(x) d x=\dfrac{1}{4}

Epreuve d'enseignement de spécialité Baccalauréat Amérique du Nord Sujet 2 - 21 mai 2026 : Principaux domaines abordés : Fonction logarithme, variations, intégration par parties - Exercice 1

Déterminer la limite de la fonction fff en +∞+\infty+∞.

Pour tout réel x>0x>0x>0, on pose g(x)=xln⁡xg(x)=x \ln xg(x)=xlnx. Démontrer que pour tout réel x>0x>0x>0, on a : f(x)=4(g(x))2f(x)=4(g(\sqrt{x}))^2f(x)=4(g(x​))2 .

En déduire lim⁡x→0f(x)\lim _{x \rightarrow 0} f(x)x→0lim​f(x).

Démontrer que sur l'intervalle ]0;+∞[] 0 ;+\infty[]0;+∞[, f′(x)=(ln⁡x)(2+ln⁡x).f^{\prime}(x)=(\ln x)(2+\ln x) .f′(x)=(lnx)(2+lnx).

En déduire les variations de la fonction fff sur l'intervalle ]0;+∞[] 0 ;+\infty[]0;+∞[.

Donner la valeur exacte du maximum de la fonction fff sur l'intervalle ]0;1]] 0 ; 1]]0;1].

On considère l'équation f(x)=2f(x)=2f(x)=2.Justifier que, sur l'intervalle ]0;+∞[] 0 ;+\infty[]0;+∞[, cette équation admet une unique solution. On note α\alphaα cette solution.

Donner un encadrement de α\alphaα d'amplitude 0,10,10,1 .

Soit aaa un nombre réel appartenant à l'intervalle ]0;1]] 0 ; 1]]0;1].Donner une interprétation géométrique de ∫a1f(x)dx\int_a^1 f(x) d x∫a1​f(x)dx .

À l'aide d'une intégration par parties, justifier que : ∫a1f(x)dx=−a22(ln⁡a)2−∫1axln⁡xdx\int_a^1 f(x) d x=-\frac{a^2}{2}(\ln a)^2-\int_1^a x \ln x d x∫a1​f(x)dx=−2a2​(lna)2−∫1a​xlnxdx .

En utilisant à nouveau une intégration par parties, démontrer que :∫a1f(x)dx=−a22(ln⁡a)2+a22ln⁡a+14−a24.\int_a^1 f(x) d x=-\frac{a^2}{2}(\ln a)^2+\frac{a^2}{2} \ln a+\frac{1}{4}-\frac{a^2}{4} .∫a1​f(x)dx=−2a2​(lna)2+2a2​lna+41​−4a2​.

Déterminer la limite de ∫a1f(x)dx\int_a^1 f(x) d x∫a1​f(x)dx quand aaa tend vers 000 .

Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ .

Pour tout réel $x>0$ , on pose $g(x)=x \ln x$ . Démontrer que pour tout réel $x>0$ , on a : $f(x)=4(g(\sqrt{x}))^2$ .

En déduire $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ .

Démontrer que sur l'intervalle $] 0 ;+\infty[$ , $f^{\prime}(x)=(\ln x)(2+\ln x) .$

En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $] 0 ;+\infty[$ .

Donner la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $] 0 ; 1]$ .

On considère l'équation $f(x)=2$ .
Justifier que, sur l'intervalle $] 0 ;+\infty[$ , cette équation admet une unique solution. On note $\alpha$ cette solution.

Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,1$ .

Soit $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $] 0 ; 1]$ .
Donner une interprétation géométrique de $\int_a^1 f(x) d x$ .

À l'aide d'une intégration par parties, justifier que : $\int_a^1 f(x) d x=-\frac{a^2}{2}(\ln a)^2-\int_1^a x \ln x d x$ .

En utilisant à nouveau une intégration par parties, démontrer que :
$\int_a^1 f(x) d x=-\frac{a^2}{2}(\ln a)^2+\frac{a^2}{2} \ln a+\frac{1}{4}-\frac{a^2}{4} .$

Déterminer la limite de $\int_a^1 f(x) d x$ quand $a$ tend vers $0$ .