Dérivée de la fonction x↦ln⁡(x)x\mapsto \ln(x) - Exercice 5

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On considère la fonction ff définie sur l'intervalle ]0;+∞[] 0 ;+\infty[ par f(x)=x(ln⁡x)2.f(x)=x(\ln x)^2 .
On admet que la fonction ff est dérivable sur l'intervalle ]0;+∞[] 0 ;+\infty\left[\right.. On note f′f^{\prime} sa fonction dérivée.
Question 1

Démontrer que sur l'intervalle ]0;+∞[] 0 ;+\infty[, f′(x)=(ln⁡x)(2+ln⁡x).f^{\prime}(x)=(\ln x)(2+\ln x) .

Correction
ff est dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=(ln⁡x)2v\left(x\right)=(\ln x)^2.
    Ainsi u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=2×1x×ln⁡x=2ln⁡xxv'\left(x\right)=2 \times \frac{1}{x} \times \ln x=\frac{2 \ln x}{x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=1×(ln⁡x)2+x×2ln⁡xxf^{\prime}(x)=1 \times(\ln x)^2+x \times \frac{2 \ln x}{x}
    f′(x)=(ln⁡x)2+2ln⁡xf'\left(x\right)= (\ln x)^2+2 \ln x
    f′(x)=ln⁡x×ln⁡x+2ln⁡xf'\left(x\right)=\red{\ln x} \times \ln x+2 \red{\ln x}
    Ainsi :
    f′(x)=(ln⁡x)(2+ln⁡x)f^{\prime}(x)=(\red{\ln x})(2+\ln x)

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