Fonction logarithme népérien

Dérivée de la fonction x↦ln⁡(x)x\mapsto \ln(x) - Exercice 4

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Question 1

Soit ff la fonction définie sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[ par f(x)=e−xln(x) f\left(x\right)=e^{-x}{\mathrm{ln} \left(x\right)\ } .
Déterminer l'expression de la dérivée seconde f′′f'' de ff .

Correction
ff est dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[
f(x)=e−xln(x) f\left(x\right)=e^{-x}{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }
Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=e−xu\left(x\right)=e^{-x} et v(x)=ln(x) v\left(x\right)={\mathrm{ln} \left(x\right)\ } .
Ainsi u′(x)=−e−xu'\left(x\right)=-e^{-x} et v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} .
Il vient alors que :
f′(x)=−ex×ln(x) +e−x×1xf'\left(x\right)=-e^x\times {\mathrm{ln} \left(x\right)\ }+e^{-x}\times \frac{1}{x}
f′(x)=e−x(−ln(x) +1x)f'\left(x\right)=e^{-x}\left(-{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }+\frac{1}{x}\right)

On reconnaît à nouveau la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=e−xu\left(x\right)=e^{-x} et v(x)=−ln(x) +1xv\left(x\right)=-{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }+\frac{1}{x} .
Ainsi u′(x)=−e−xu'\left(x\right)=-e^{-x} et v′(x)=−1x−1x2v'\left(x\right)=-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2} .
Il vient alors que :
f′′(x)=−e−x(−ln(x) +1x)+e−x(−1x−1x2)f''\left(x\right)=-e^{-x}\left(-{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }+\frac{1}{x}\right)+e^{-x}\left(-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)
f′′(x)=e−x(ln(x) −1x−1x−1x2)f''\left(x\right)=e^{-x}\left({\mathrm{ln} \left(x\right)\ }-\frac{1}{x}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)
D'où :
f′′(x)=e−x(ln(x) −2x−1x2)f''\left(x\right)=e^{-x}\left({\mathrm{ln} \left(x\right)\ }-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right)