Dérivée de la fonction $$x\mapsto \ln(x)$$ - Exercice 3

La fonction $$f$$ est définie si et seulement si $$x>0$$. De plus $$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
$$f'\left(x\right)=-\frac{4}{x} +6x-5$$
$$f'\left(x\right)=-\frac{4}{x} +\frac{6x}{1} -\frac{5}{1}$$
$$f'\left(x\right)=-\frac{4}{x} +\frac{6x\times x}{1\times x} -\frac{5\times x}{1\times x}$$
$$f'\left(x\right)=-\frac{4}{x} +\frac{6x^{2} }{x} -\frac{5x}{x}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-4+6x^{2} -5x}{x}$$
Ainsi :

La fonction $$f$$ est définie si et seulement si $$x>0$$.
De plus $$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
Ici on reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'}$$ avec $$u\left(x\right)=x^{2}$$ et $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=2x$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=2x\times \ln \left(x\right)+x^{2}\times \frac{1}{x}$$
$$f'\left(x\right)= 2x\ln \left(x\right)+\frac{x^{2}}{x}$$
Finalement :

La fonction $$f$$ est définie si et seulement si $$x>0$$.
De plus $$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
$$f'\left(x\right)=\frac{2}{x} -\left(\frac{-3}{x^{2} } \right)+4$$
$$f'\left(x\right)=\frac{2}{x} +\frac{3}{x^{2} } +4$$
$$f'\left(x\right)=\frac{2}{x} +\frac{3}{x^{2} } +\frac{4}{1}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{2\times x}{x\times x} +\frac{3}{x^{2} } +\frac{4\times x^{2} }{1\times x^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{2x}{x^{2} } +\frac{3}{x^{2} } +\frac{4x^{2} }{x^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{2x+3+4x^{2} }{x^{2} }$$
Ainsi :