Compositions et limites - Exercice 2

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to+\infty } \ln \left(3x+4\right) } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(3x+7\right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $$+\infty -\left(+\infty\right)$$
Nous allons donc transformer notre expression.

$$\lim\limits_{x\to+\infty } \ln \left(3x+4\right)-\ln \left(3x+7\right)=\lim\limits_{x\to+\infty } \ln \left(\frac{3x+4}{3x+7}\right)$$
$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}{+\infty}} } \frac{3x+4}{3x+7}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x+4}{3x+7} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{3x+4}{x} \right)}{x \left(\frac{3x+7}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x+4}{3x+7} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{3x}{x} +\frac{4}{x} \right)}{x\left(\frac{3x}{x} +\frac{7}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x+4}{3x+7} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\frac{3x}{x} +\frac{4}{x} }{\frac{3x}{x} +\frac{7}{x} }$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x+4}{3x+7} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3+\frac{4}{x} }{3+\frac{7}{x} }$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3+\frac{4}{x}} & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 3+\frac{7}{x}} & {=} & {3} \end{array}\right\}$$ par quotient :
On pose $$X=\frac{3x+4}{3x+7}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}{1}}} \ln \left(X\right) ={\color{green}{0}}$$.
Par composition :
Finalement : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}{+\infty}} }\ln \left(3x+4\right)-\ln \left(3x+7\right)={\color{green}{0}}$$