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Compositions et limites - Exercice 1

25 min
40
Déterminer les limites suivantes.
Question 1

lim⁡x→1+ln⁡(3x−3)\lim\limits_{x\to 1^{+}} \ln \left(3x-3\right)

Correction
Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer lim⁡x→1+3x−3=0+\lim\limits_{x\to {\color{red}{1^{+}}}} 3x-3={\color{blue}{0^{+}}}. Le tableau de signe ci-dessous nous explique pourquoi lim⁡x→1+3x−3=0+\lim\limits_{x\to 1^{+}} 3x-3=0^{+}
On pose X=3x−3X=3x-3.
Ainsi : lim⁡X→0+ln⁡(X)=−∞\lim\limits_{X\to {\color{blue}{0^{+}}}} \ln \left(X\right) ={\color{green}{-\infty}}.
Par composition :
lim⁡x→1+ln⁡(3x−3)=−∞\lim\limits_{x\to {\color{red}{1^{+}}}} \ln \left(3x-3\right) ={\color{green}{-\infty}}
Question 2

lim⁡x→+∞ln⁡(1x)\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(\frac{1}{x}\right)

Correction
Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer lim⁡x→+∞1x=0+\lim\limits_{x\to {\color{red}{+\infty}} } \frac{1}{x}={\color{blue}{0^{+}}}.
On pose X=1xX=\frac{1}{x}.
Ainsi : lim⁡X→0+ln⁡(X)=−∞\lim\limits_{X\to {\color{blue}{0^{+}}} } \ln \left(X\right) ={\color{green}{-\infty}}.
Par composition :
lim⁡x→+∞ln⁡(1x)=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(\frac{1}{x}\right) ={\color{green}{-\infty}}

Question 3

lim⁡x→−∞ln⁡(2−5x)\lim\limits_{x\to -\infty } \ln \left(2-5x\right)

Correction
Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer lim⁡x→−∞2−5x=+∞\lim\limits_{x\to {\color{red}{-\infty}} } 2-5x={\color{blue}{+\infty}}.
On pose X=2−5xX=2-5x.
Ainsi : lim⁡X→+∞ln⁡(X)=+∞\lim\limits_{X\to {\color{blue}{+\infty}} } \ln \left(X\right) ={\color{green}{+\infty}}.
Par composition :
lim⁡x→−∞ln⁡(2−5x)=+∞\lim\limits_{x\to {\color{red}{-\infty}} } \ln \left(2-5x\right) ={\color{green}{+\infty}}
Question 4

lim⁡x→+∞ln⁡(x2+3x2+x+1)\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(\frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1}\right)

Correction
Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer : lim⁡x→+∞x2+3x2+x+1\lim\limits_{x\to {\color{red}{+\infty}} } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1}
lim⁡x→+∞x2+3x2+x+1=lim⁡x→+∞x2(x2+3x2)x2(x2+x+1x2)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}\left(\frac{x^{2}+3}{x^{2}} \right)}{x^{2} \left(\frac{x^{2} +x+1}{x^{2} } \right)}
lim⁡x→+∞x2+3x2+x+1=lim⁡x→+∞(x2+3x2)(x2+x+1x2)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\left(\frac{x^{2} +3}{x^{2} } \right)}{\left(\frac{x^{2} +x+1}{x^{2} } \right)}
lim⁡x→+∞x2+3x2+x+1=lim⁡x→+∞x2x2+3x2x2x2+xx2+1x2\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\frac{x^{2} }{x^{2} } +\frac{3}{x^{2} } }{\frac{x^{2} }{x^{2} } +\frac{x}{x^{2} } +\frac{1}{x^{2} } }
lim⁡x→+∞x2+3x2+x+1=lim⁡x→+∞1+3x21+1x+1x2\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1+\frac{3}{x^{2} } }{1+\frac{1}{x} +\frac{1}{x^{2} } }
Ainsi : lim⁡x→+∞1+3x2=1lim⁡x→+∞1+1x+1x2=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 1+\frac{3}{x^{2}}} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 1+\frac{1}{x} +\frac{1}{x^{2} } } & {=} & {1} \end{array}\right\} par quotient :
lim⁡x→+∞x2+3x2+x+1=1\lim\limits_{x\to {\color{red}{+\infty}} } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} ={\color{blue}{1}}

On pose X=x2+3x2+x+1X=\frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1}.
Ainsi : lim⁡X→1ln⁡(X)=0\lim\limits_{X\to {\color{blue}{1}}} \ln \left(X\right) ={\color{green}{0}}.
Par composition :
lim⁡x→+∞ln⁡(x2+3x2+x+1)=0\lim\limits_{x\to {\color{red}{+\infty}}} \ln \left(\frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1}\right) ={\color{green}{0}}
Question 5

lim⁡x→−∞ln⁡(1+1x2)\lim\limits_{x\to -\infty } \ln \left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)

Correction
Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer lim⁡x→−∞1+1x2=1\lim\limits_{x\to {\color{red}{-\infty}} } 1+\frac{1}{x^{2}}={\color{blue}{1}}.
On pose X=1+1x2X=1+\frac{1}{x^{2}}.
Ainsi : lim⁡X→1ln⁡(X)=0\lim\limits_{X\to {\color{blue}{1}}} \ln \left(X\right) ={\color{green}{0}}.
Par composition :
lim⁡x→−∞ln⁡(1+1x2)=0\lim\limits_{x\to {\color{red}{-\infty}} } \ln \left(1+\frac{1}{x^{2}}\right) ={\color{green}{0}}
Question 6

lim⁡x→9−ln⁡(−x+9)\lim\limits_{x\to 9^{-}} \ln \left(-x+9\right)

Correction
Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer lim⁡x→9−−x+9=0+\lim\limits_{x\to {\color{red}{9^{-}}}} -x+9={\color{blue}{0^{+}}}. Le tableau de signe ci-dessous nous explique pourquoi lim⁡x→9−−x+9=0+\lim\limits_{x\to {\color{red}{9^{-}}}} -x+9={\color{blue}{0^{+}}}
On pose X=−x+9X=-x+9.
Ainsi : lim⁡X→0+ln⁡(X)=−∞\lim\limits_{X\to {\color{blue}{0^{+}}} } \ln \left(X\right) ={\color{green}{-\infty}}.
Par composition :
lim⁡x→9−ln⁡(−x+9)=−∞\lim\limits_{x\to {\color{red}{9^{-}}}} \ln \left(-x+9\right) ={\color{green}{-\infty}}
Question 7

lim⁡x→−∞ln⁡(x2)\lim\limits_{x\to -\infty } \ln \left(x^{2}\right)

Correction
Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer lim⁡x→−∞x2=+∞\lim\limits_{x\to {\color{red}{-\infty}}} x^{2}= {\color{blue}{+\infty}}.
On pose X=x2X=x^{2}.
Ainsi : lim⁡X→+∞ln⁡(X)=+∞\lim\limits_{X\to {\color{blue}{+\infty}} } \ln \left(X\right) ={\color{green}{+\infty}}.
Par composition :
lim⁡x→−∞ln⁡(x2)=+∞\lim\limits_{x\to {\color{red}{-\infty}} } \ln \left(x^{2}\right) ={\color{green}{+\infty}}
Question 8

lim⁡x→−∞ln⁡(ex+1)\lim\limits_{x\to -\infty } \ln \left(e^{x}+1\right)

Correction
Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer lim⁡x→−∞ex+1=1\lim\limits_{x\to {\color{red}{-\infty}} } e^{x}+1={\color{blue}{1}} car lim⁡x→−∞ex=0\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}=0
On pose X=ex+1X= e^{x}+1.
Ainsi : lim⁡X→1ln⁡(X)=0\lim\limits_{X\to {\color{blue}{1}}} \ln \left(X\right) ={\color{green}{0}}.
Par composition :
lim⁡x→−∞ln⁡(ex+1)=0\lim\limits_{x\to {\color{red}{-\infty}} } \ln \left(e^{x}+1\right) ={\color{green}{0}}
Question 9

lim⁡x→0+ln⁡(sin⁡(x))\lim\limits_{x\to 0^{+} } \ln \left(\sin\left(x\right)\right)

Correction
Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer lim⁡x→0+sin⁡(x)=0+\lim\limits_{x\to {\color{red}{0^{+}}}} \sin\left(x\right)={\color{blue}{0^{+}}}
On pose X=sin⁡(x)X= \sin\left(x\right).
Ainsi : lim⁡X→0+ln⁡(X)=−∞\lim\limits_{X\to {\color{blue}{0^{+}}}} \ln \left(X\right) ={\color{green}{-\infty}}.
Par composition :
lim⁡x→0+ln⁡(sin⁡(x))=−∞\lim\limits_{x\to {\color{red}{0^{+}}}} \ln \left(\sin\left(x\right)\right) ={\color{green}{-\infty}}

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