Fonction logarithme népérien

Ce qu'il faut savoir sur la fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien

Fonction réciproque de la fonction exponentielle

Définition 1
  • Pour tout réel yy strictement positif, l'équation ex=ye^{x}=y admet une unique solution, notée ln(y)\ln\left(y\right) .
  • On définit ainsi une nouvelle fonction sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[, qui a pour tout réel yy appartenant à ]0;+[\left]0;+\infty \right[ associe ln(y)\ln\left(y\right), l'unique solution de l'équation ex=ye^{x}=y .
  • La fonction logarithme népérien est la fonction reˊciproque\red{\text{fonction réciproque}} de la fonction exponentielle.
Définition 2 : Conséquences
  • Pour tout réel y>0y>0 et pour tout réel xx, on a : ex=yx=ln(y)e^{x} =y\Leftrightarrow x=\ln \left(y\right)
  • ln(1)=0\ln \left(1\right)=0 et ln(e)=1\ln \left(e\right)=1
  • Pour tout réel x>0x>0, on a : eln(x)=xe^{\ln \left(x\right)} =x
  • Pour tour réel xx, on a : ln(ex)=x\ln \left(e^{x} \right)=x

Relation fonctionnelle du logarithme népérien

Définition 3
  • Pour tous réels xx et yy strictement positifs : ln(xy)=ln(x)+ln(y)\ln \left(xy\right)=\ln \left(x\right)+\ln \left(y\right)
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Exprimer en fonction de ln(3)\ln \left(3\right) et ln(5)\ln \left(5\right) le nombre ln(15)\ln \left(15\right) .
ln(15)=ln(3×5)=ln(3)+ln(5)\ln \left(15\right)=\ln \left(3\times 5\right)=\ln \left(3\right)+\ln \left(5\right)

Les autres propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien

Définition 4
    Pour tous réels xx et yy strictement positifs :
  • ln(1x)=ln(x)\ln \left(\frac{1}{x} \right)=-\ln \left(x\right)
  • ln(xy)=ln(x)ln(y)\ln \left(\frac{x}{y} \right)=\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right)
  • Pour tout entier relatif nn, on a : ln(xn)=nln(x)\ln \left(x^{n} \right)=n\ln \left(x\right)
  • ln(x)=12ln(x)\ln \left(\sqrt{x} \right)=\frac{1}{2} \ln \left(x\right)
  • Etude de la fonction logarithme népérien

    Dérivée de la fonction xln(x)\blue{x \mapsto \ln \left(x\right)}

    Définition 5
      La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0;+[\left]0;+\infty\right[ et, pour tout réel x>0x>0 :
      (ln(x))=1x\left(\ln \left(x\right)\right)^{'} =\frac{1}{x}
    Conseˊquence :\pink{\text{Conséquence :}} La fonction xln(x)x\mapsto \ln \left(x\right) est strictement croissante sur ]0;+[\left]0;+\infty\right[ .

    Equations et logarithme népérien

    Définition 6
      Pour tous réels xx et yy strictement positifs : ln(x)=ln(y)x=y\ln \left(x\right)=\ln \left(y\right)\Leftrightarrow x=y
    Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ln(4x8)=ln(x)\ln \left(4x-8\right)=\ln \left(x\right) .
    Il faut commencer par deˊterminer la domaine de validiteˊ de l’eˊquation.\text{\purple{Il faut commencer par déterminer la domaine de validité de l'équation.}}
    L'équation est définie si et seulement si : {4x8>0x>0{4x>8x>0{x>84x>0{x>2x>0\left\{\begin{array}{c} {4x-8>0} \\ {x>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {4x>8} \\ {x>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>\frac{8}{4} } \\ {x>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>2} \\ {x>0} \end{array}\right.
    On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition (de validité de l'équation) est
    Df=]2;+[D_{f} =\left]2;+\infty\right[

    Soit x>2x>2, il vient alors :
    ln(4x8)=ln(x)\ln \left(4x-8\right)=\ln \left(x\right) équivaut successivement à :
    4x8=x4x-8=x
    4xx=84x-x=8
    3x=83x=8
    x=83x=\frac{8}{3}
    or 83]2;+[\frac{8}{3} \in \left]2;+\infty\right[ .
    La solution de l'équation ln(4x8)=ln(x)\ln \left(4x-8\right)=\ln \left(x\right) est alors S={83}S=\left\{\frac{8}{3} \right\}.

    Inéquations et logarithme népérien

    Définition 7
    • Pour tous réels xx et yy strictement positifs : ln(x)ln(y)xy\ln \left(x\right) \le \ln \left(y\right)\Leftrightarrow x\le y
    • Pour tous réels xx et yy strictement positifs : ln(x)ln(y)xy\ln \left(x\right) \ge \ln \left(y\right)\Leftrightarrow x\ge y
    Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation ln(x3)0\ln \left(x-3\right)\ge 0 .
    Il faut commencer par deˊterminer la domaine de validiteˊ de l’ineˊquation.\text{\purple{Il faut commencer par déterminer la domaine de validité de l'inéquation.}}
    L'inéquation est définie si et seulement si : x30x3x-3\ge 0\Leftrightarrow x\ge 3
    Le domaine de définition (de validité de l'inéquation) est
    Df=]3;+[D_{f} =\left]3;+\infty\right[

    Soit x>3x>3, il vient alors :
    ln(x3)0ln(x3)ln(1)x31x4\ln \left(x-3\right)\ge 0\Leftrightarrow \ln \left(x-3\right)\ge \ln \left(1\right)\Leftrightarrow x-3\ge 1\Leftrightarrow x\ge 4
    L'ensemble des solutions de l'inéquation ln(x3)0\ln \left(x-3\right)\ge 0 est alors S=[4;+[S=\left[4;+\infty\right[.

    Limites avec la fonction logarithme népérien

    Les limites aux bornes du domaine de définition de la fonction logarithme népérien

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