Ce qu'il faut savoir sur la fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien
Fonction réciproque de la fonction exponentielle
Définition 1
Pour tout réel y strictement positif, l'équation ex=y admet une unique solution, notée ln(y) .
On définit ainsi une nouvelle fonction sur ]0;+∞[, qui a pour tout réel y appartenant à ]0;+∞[ associe ln(y), l'unique solution de l'équation ex=y .
La fonction logarithme népérien est la fonction reˊciproque de la fonction exponentielle.
Définition 2 : Conséquences
Pour tout réel y>0 et pour tout réel x, on a : ex=y⇔x=ln(y)
ln(1)=0 et ln(e)=1
Pour tout réel x>0, on a : eln(x)=x
Pour tour réel x, on a : ln(ex)=x
Relation fonctionnelle du logarithme népérien
Définition 3
Pour tous réels x et y strictement positifs : ln(xy)=ln(x)+ln(y)
Exemple : Exprimer en fonction de ln(3) et ln(5) le nombre ln(15) . ln(15)=ln(3×5)=ln(3)+ln(5)
Les autres propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien
Définition 4
Pour tous réels x et y strictement positifs :
ln(x1)=−ln(x)
ln(yx)=ln(x)−ln(y)
Pour tout entier relatif n, on a : ln(xn)=nln(x)
ln(x)=21ln(x)
Etude de la fonction logarithme népérien
Dérivée de la fonction x↦ln(x)
Définition 5
La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0;+∞[ et, pour tout réel x>0 :
(ln(x))′=x1
Conseˊquence : La fonction x↦ln(x) est strictement croissante sur ]0;+∞[ .
Equations et logarithme népérien
Définition 6
Pour tous réels x et y strictement positifs : ln(x)=ln(y)⇔x=y
Exemple : Résoudre dans R l'équation ln(4x−8)=ln(x) . Il faut commencer par deˊterminer la domaine de validiteˊ de l’eˊquation. L'équation est définie si et seulement si : {4x−8>0x>0⇔{4x>8x>0⇔{x>48x>0⇔{x>2x>0 On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition (de validité de l'équation) est
Df=]2;+∞[
Soit x>2, il vient alors : ln(4x−8)=ln(x) équivaut successivement à : 4x−8=x 4x−x=8 3x=8
x=38
or 38∈]2;+∞[ . La solution de l'équation ln(4x−8)=ln(x) est alors S={38}.
Inéquations et logarithme népérien
Définition 7
Pour tous réels x et y strictement positifs : ln(x)≤ln(y)⇔x≤y
Pour tous réels x et y strictement positifs : ln(x)≥ln(y)⇔x≥y
Exemple : Résoudre dans R l'inéquation ln(x−3)≥0 . Il faut commencer par deˊterminer la domaine de validiteˊ de l’ineˊquation. L'inéquation est définie si et seulement si : x−3≥0⇔x≥3 Le domaine de définition (de validité de l'inéquation) est
Df=]3;+∞[
Soit x>3, il vient alors : ln(x−3)≥0⇔ln(x−3)≥ln(1)⇔x−3≥1⇔x≥4 L'ensemble des solutions de l'inéquation ln(x−3)≥0 est alors S=[4;+∞[.
Limites avec la fonction logarithme népérien
Les limites aux bornes du domaine de définition de la fonction logarithme népérien
Définition 8
x→0+limln(x)=−∞
x→+∞limln(x)=+∞
Croissance comparée des fonctions logarithme
Définition 9 Pour tout nombre entier n strictement positif, on a :
x→+∞limxnln(x)=0
Définition 10 Pour tout nombre entier n strictement positif, on a :
x→0+limxnln(x)=0
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