Ce qu'il faut savoir sur la fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien

Fonction réciproque de la fonction exponentielle

Définition 1
  • Pour tout réel yy strictement positif, l'équation ex=ye^{x}=y admet une unique solution, notée ln⁡(y)\ln\left(y\right) .
  • On définit ainsi une nouvelle fonction sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[, qui a pour tout réel yy appartenant à ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[ associe ln⁡(y)\ln\left(y\right), l'unique solution de l'équation ex=ye^{x}=y .
  • La fonction logarithme népérien est la fonction reˊciproque\red{\text{fonction réciproque}} de la fonction exponentielle.
Définition 2 : Conséquences
  • Pour tout réel y>0y>0 et pour tout réel xx, on a : ex=y⇔x=ln⁡(y)e^{x} =y\Leftrightarrow x=\ln \left(y\right)
  • ln⁡(1)=0\ln \left(1\right)=0 et ln⁡(e)=1\ln \left(e\right)=1
  • Pour tout réel x>0x>0, on a : eln⁡(x)=xe^{\ln \left(x\right)} =x
  • Pour tour réel xx, on a : ln⁡(ex)=x\ln \left(e^{x} \right)=x

Relation fonctionnelle du logarithme népérien

Définition 3
  • Pour tous réels xx et yy strictement positifs : ln⁡(xy)=ln⁡(x)+ln⁡(y)\ln \left(xy\right)=\ln \left(x\right)+\ln \left(y\right)
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Exprimer en fonction de ln⁡(3)\ln \left(3\right) et ln⁡(5)\ln \left(5\right) le nombre ln⁡(15)\ln \left(15\right) .
ln⁡(15)=ln⁡(3×5)=ln⁡(3)+ln⁡(5)\ln \left(15\right)=\ln \left(3\times 5\right)=\ln \left(3\right)+\ln \left(5\right)

Les autres propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien

Définition 4
    Pour tous réels xx et yy strictement positifs :
  • ln⁡(1x)=−ln⁡(x)\ln \left(\frac{1}{x} \right)=-\ln \left(x\right)
  • ln⁡(xy)=ln⁡(x)−ln⁡(y)\ln \left(\frac{x}{y} \right)=\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right)
  • Pour tout entier relatif nn, on a : ln⁡(xn)=nln⁡(x)\ln \left(x^{n} \right)=n\ln \left(x\right)
  • ln⁡(x)=12ln⁡(x)\ln \left(\sqrt{x} \right)=\frac{1}{2} \ln \left(x\right)

    • Etude de la fonction logarithme népérien

    Dérivée de la fonction x↦ln⁡(x)\blue{x \mapsto \ln \left(x\right)}

    Définition 5
      La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[ et, pour tout réel x>0x>0 :
      (ln⁡(x))′=1x\left(\ln \left(x\right)\right)^{'} =\frac{1}{x}
    Conseˊquence :\pink{\text{Conséquence :}} La fonction x↦ln⁡(x)x\mapsto \ln \left(x\right) est strictement croissante sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[ .

    Equations et logarithme népérien

    Définition 6
      Pour tous réels xx et yy strictement positifs : ln⁡(x)=ln⁡(y)⇔x=y\ln \left(x\right)=\ln \left(y\right)\Leftrightarrow x=y
    Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ln⁡(4x−8)=ln⁡(x)\ln \left(4x-8\right)=\ln \left(x\right) .
    Il faut commencer par deˊterminer la domaine de validiteˊ de l’eˊquation.\text{\purple{Il faut commencer par déterminer la domaine de validité de l'équation.}}
    L'équation est définie si et seulement si : {4x−8>0x>0⇔{4x>8x>0⇔{x>84x>0⇔{x>2x>0\left\{\begin{array}{c} {4x-8>0} \\ {x>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {4x>8} \\ {x>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>\frac{8}{4} } \\ {x>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>2} \\ {x>0} \end{array}\right.
    On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition (de validité de l'équation) est
    Df=]2;+∞[D_{f} =\left]2;+\infty\right[

    Soit x>2x>2, il vient alors :
    ln⁡(4x−8)=ln⁡(x)\ln \left(4x-8\right)=\ln \left(x\right) équivaut successivement à :
    4x−8=x4x-8=x
    4x−x=84x-x=8
    3x=83x=8
    x=83x=\frac{8}{3}
    or 83∈]2;+∞[\frac{8}{3} \in \left]2;+\infty\right[ .
    La solution de l'équation ln⁡(4x−8)=ln⁡(x)\ln \left(4x-8\right)=\ln \left(x\right) est alors S={83}S=\left\{\frac{8}{3} \right\}.

    Inéquations et logarithme népérien

    Définition 7
    • Pour tous réels xx et yy strictement positifs : ln⁡(x)≤ln⁡(y)⇔x≤y\ln \left(x\right) \le \ln \left(y\right)\Leftrightarrow x\le y
    • Pour tous réels xx et yy strictement positifs : ln⁡(x)≥ln⁡(y)⇔x≥y\ln \left(x\right) \ge \ln \left(y\right)\Leftrightarrow x\ge y
    Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation ln⁡(x−3)≥0\ln \left(x-3\right)\ge 0 .
    Il faut commencer par deˊterminer la domaine de validiteˊ de l’ineˊquation.\text{\purple{Il faut commencer par déterminer la domaine de validité de l'inéquation.}}
    L'inéquation est définie si et seulement si : x−3≥0⇔x≥3x-3\ge 0\Leftrightarrow x\ge 3
    Le domaine de définition (de validité de l'inéquation) est
    Df=]3;+∞[D_{f} =\left]3;+\infty\right[

    Soit x>3x>3, il vient alors :
    ln⁡(x−3)≥0⇔ln⁡(x−3)≥ln⁡(1)⇔x−3≥1⇔x≥4\ln \left(x-3\right)\ge 0\Leftrightarrow \ln \left(x-3\right)\ge \ln \left(1\right)\Leftrightarrow x-3\ge 1\Leftrightarrow x\ge 4
    L'ensemble des solutions de l'inéquation ln⁡(x−3)≥0\ln \left(x-3\right)\ge 0 est alors S=[4;+∞[S=\left[4;+\infty\right[.

    Limites avec la fonction logarithme népérien

    Les limites aux bornes du domaine de définition de la fonction logarithme népérien

    Définition 8
  • lim⁡x→0+ln⁡(x)=−∞\lim\limits_{x\to 0^{+} } \ln \left(x\right)=-\infty
  • lim⁡x→+∞ln⁡(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)=+\infty

    • Croissance comparée des fonctions logarithme

    Définition 9
    Pour tout nombre entier nn strictement positif, on a :
  • lim⁡x→+∞ln⁡(x)xn=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x^{n} }=0
    • Définition 10
    Pour tout nombre entier nn strictement positif, on a :
  • lim⁡x→0+xnln⁡(x)=0\lim\limits_{x\to 0^{+}} x^{n} \ln \left(x\right)=0