Nous allons commencer par simplifier l'écriture de la fonction g. Il vient : g(x)=x5x2−9x+7 équivaut successivement à : g(x)=x5x2−x9x+x7 g(x)=5x−9+x7 Maintenant, nous pouvons calculer une primitive. G(x)=5×21x2−9x+7ln(x)+k
G(x)=25x2−9x+7ln(x)+k
où k est une constante réelle.
3
h définie sur I=]0;+∞[ par h(x)=x7+4x2+9x−5 .
Correction
Une primitive de ln(x) est x1
H(x)=7ln(x)+4×31x3+9×21x2−5x+k
H(x)=7ln(x)+34x3+29x2−5x+k
où k est une constante réelle.
4
m définie sur I=]0;+∞[ par m(x)=−x8−x22+2x−1 .
Correction
Une primitive de ln(x) est x1
Une primitive de x21 est −x1
M(x)=−8ln(x)+x2+x2−x+k
où k est une constante réelle.
Exercice 2
Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur l'intervalle I donné.
1
f définie sur I=]−2;+∞[ par f(x)=x+21
Correction
Une primitive de uu′ est de la forme ln(u) .
Ici, nous mettons la constante k car nous cherchons les primitives.
2
f définie sur I=]1;+∞[ par f(x)=x−13
Correction
Une primitive de uu′ est de la forme ln(u) .
Ici, nous mettons la constante k car nous cherchons les primitives.
3
f définie sur I=]4;+∞[ par f(x)=2x−85
Correction
Une primitive de uu′ est de la forme ln(u) .
Ici, nous mettons la constante k car nous cherchons les primitives.
4
f définie sur I=]−∞;+∞[ par f(x)=x2+32x
Correction
Une primitive de uu′ est de la forme ln(u) .
Ici, nous mettons la constante k car nous cherchons les primitives.
5
f définie sur I=]−∞;−3[ par f(x)=−3x−97
Correction
Une primitive de uu′ est de la forme ln(u) .
Ici, nous mettons la constante k car nous cherchons les primitives.
Exercice 3
Soit f la fonction définie pour tout réel x appartenant à l'intervalle [1;10] par f(x)=2ln(x)+2−x3 .
1
Montrer que la fonction F définie sur [1;10] par F(x)=(2x−3)ln(x) est une primitive de f sur [1;10].
Correction
Dans le cas où une primitive F est donnée, il vous suffit de dériver F et d'obtenir comme résultat f. Autrement dit, il faut que : F′(x)=f(x)
Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=2x−3 et v(x)=ln(x). Ainsi : u′(x)=2 et v′(x)=x1. Il vient alors que : F′(x)=2ln(x)+(2x−3)×x1 F′(x)=2ln(x)+2x×x1−3×x1 F′(x)=2ln(x)+x2x−x3 F′(x)=2ln(x)+2−x3 Ainsi :
F′(x)=f(x)
On a bien montré que F est une primitive de f sur [1;10].
Exercice 4
Soit f la fonction définie pour tout réel x appartenant à l'intervalle [2;8] par f(x)=x(6ln(x)+1) .
1
Montrer que la fonction F définie sur [2;8] par F(x)=3x2ln(x)−x2 est une primitive de f sur [2;8].
Correction
Dans le cas où une primitive F est donnée, il vous suffit de dériver F et d'obtenir comme résultat f. Autrement dit, il faut que : F′(x)=f(x)
Ici on reconnaît la forme : (uv+w)′=u′v+uv′+w′ avec u(x)=3x2 ; v(x)=ln(x) et w(x)=−x2. Ainsi : u′(x)=6x ; v′(x)=x1 et w′(x)=−2x. Il vient alors que : F′(x)=6xln(x)+3x2×x1−2x F′(x)=6xln(x)+x3x2−2x F′(x)=6xln(x)+3x−2x F′(x)=6xln(x)+x . On factorise par x . F′(x)=x(6ln(x)+1) Ainsi :
F′(x)=f(x)
On a bien montré que F est une primitive de f sur [2;8].
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