Fonction logarithme népérien
Calculs de primitives
Exercice 1
1
f définie sur
I=]0;+∞[ par
f(x)=x3−5x+2 .
Une primitive de ln(x) est x1 F(x)=3ln(x)−5×21x2+2x+kF(x)=3ln(x)−25x2+2x+k où
k est une constante réelle.
2
g définie sur
I=]0;+∞[ par
g(x)=x5x2−9x+7 .
Nous allons commencer par simplifier l'écriture de la fonction
g. Il vient :
g(x)=x5x2−9x+7 équivaut successivement à :
g(x)=x5x2−x9x+x7 g(x)=5x−9+x7Maintenant, nous pouvons calculer une primitive.
G(x)=5×21x2−9x+7ln(x)+kG(x)=25x2−9x+7ln(x)+k où
k est une constante réelle.
3
h définie sur
I=]0;+∞[ par
h(x)=x7+4x2+9x−5 .
Une primitive de ln(x) est x1 H(x)=7ln(x)+4×31x3+9×21x2−5x+kH(x)=7ln(x)+34x3+29x2−5x+k où
k est une constante réelle.
4
m définie sur
I=]0;+∞[ par
m(x)=−x8−x22+2x−1 .
Une primitive de ln(x) est x1Une primitive de x21 est −x1 M(x)=−8ln(x)+x2+x2−x+k où
k est une constante réelle.
Exercice 2
1
f définie sur
I=]−2;+∞[ par
f(x)=x+21
Une primitive de uu′ est de la forme ln(u) . Ici, nous mettons la constante
k car nous cherchons
les primitives.
2
f définie sur
I=]1;+∞[ par
f(x)=x−13
Une primitive de uu′ est de la forme ln(u) . Ici, nous mettons la constante
k car nous cherchons
les primitives.
3
f définie sur
I=]4;+∞[ par
f(x)=2x−85
Une primitive de uu′ est de la forme ln(u) . Ici, nous mettons la constante
k car nous cherchons
les primitives.
4
f définie sur
I=]−∞;+∞[ par
f(x)=x2+32x
Une primitive de uu′ est de la forme ln(u) . Ici, nous mettons la constante
k car nous cherchons
les primitives.
5
f définie sur
I=]−∞;−3[ par
f(x)=−3x−97
Une primitive de uu′ est de la forme ln(u) . Ici, nous mettons la constante
k car nous cherchons
les primitives.
Exercice 3
1
Montrer que la fonction
F définie sur
[1;10] par
F(x)=(2x−3)ln(x) est une primitive de
f sur
[1;10].
Dans le cas où une primitive
F est donnée, il vous suffit de dériver
F et d'obtenir comme résultat
f.
Autrement dit, il faut que :
F′(x)=f(x)Ici on reconnaît la forme :
(uv)′=u′v+uv′ avec
u(x)=2x−3 et
v(x)=ln(x).
Ainsi :
u′(x)=2 et
v′(x)=x1.
Il vient alors que :
F′(x)=2ln(x)+(2x−3)×x1 F′(x)=2ln(x)+2x×x1−3×x1 F′(x)=2ln(x)+x2x−x3 F′(x)=2ln(x)+2−x3 Ainsi :
F′(x)=f(x) On a bien montré que
F est une primitive de
f sur
[1;10].
Exercice 4
1
Montrer que la fonction
F définie sur
[2;8] par
F(x)=3x2ln(x)−x2 est une primitive de
f sur
[2;8].
Dans le cas où une primitive
F est donnée, il vous suffit de dériver
F et d'obtenir comme résultat
f.
Autrement dit, il faut que :
F′(x)=f(x)Ici on reconnaît la forme :
(uv+w)′=u′v+uv′+w′ avec
u(x)=3x2 ;
v(x)=ln(x) et
w(x)=−x2.
Ainsi :
u′(x)=6x ;
v′(x)=x1 et
w′(x)=−2x.
Il vient alors que :
F′(x)=6xln(x)+3x2×x1−2x F′(x)=6xln(x)+x3x2−2x F′(x)=6xln(x)+3x−2x F′(x)=6xln(x)+x . On factorise par
x .
F′(x)=x(6ln(x)+1) Ainsi :
F′(x)=f(x) On a bien montré que
F est une primitive de
f sur
[2;8].
