Fonction logarithme népérien

Calculs de primitives - Exercice 1

8 min
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Question 1
Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur l'intervalle II donné.

ff définie sur I=]0;+∞[I=\left]0;+\infty\right[ par f(x)=3x−5x+2f\left(x\right)=\frac{3}{x} -5x+2 .

Correction
  • Une primitive de ln⁡(x)\ln \left(x\right) est 1x\frac{1}{x }
    • F(x)=3ln⁡(x)−5×12x2+2x+kF\left(x\right)=3\ln \left(x\right)-5\times \frac{1}{2} x^{2} +2x+k
    F(x)=3ln⁡(x)−52x2+2x+kF\left(x\right)=3\ln \left(x\right)- \frac{5}{2} x^{2} +2x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 2

    gg définie sur I=]0;+∞[I=\left]0;+\infty\right[ par g(x)=5x2−9x+7xg\left(x\right)=\frac{5x^{2} -9x+7}{x} .

    Correction
    Nous allons commencer par simplifier l'écriture de la fonction gg. Il vient :
    g(x)=5x2−9x+7xg\left(x\right)=\frac{5x^{2} -9x+7}{x} équivaut successivement à :
    g(x)=5x2x−9xx+7xg\left(x\right)=\frac{5x^{2} }{x} -\frac{9x}{x} +\frac{7}{x}
    g(x)=5x−9+7xg\left(x\right)=5x-9+\frac{7}{x}
    Maintenant, nous pouvons calculer une primitive.
    G(x)=5×12x2−9x+7ln⁡(x)+kG\left(x\right)=5\times \frac{1}{2} x^{2} -9x+7\ln \left(x\right)+k
    G(x)=52x2−9x+7ln⁡(x)+kG\left(x\right)= \frac{5}{2} x^{2} -9x+7\ln \left(x\right)+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 3

    hh définie sur I=]0;+∞[I=\left]0;+\infty\right[ par h(x)=7x+4x2+9x−5h\left(x\right)=\frac{7}{x} +4x^{2}+9x-5 .

    Correction
  • Une primitive de ln⁡(x)\ln \left(x\right) est 1x\frac{1}{x }
    • H(x)=7ln⁡(x)+4×13x3+9×12x2−5x+kH\left(x\right)=7\ln \left(x\right)+4\times\frac{1}{3} x^{3} +9\times \frac{1}{2}x^{2}-5x+k
    H(x)=7ln⁡(x)+43x3+92x2−5x+kH\left(x\right)=7\ln \left(x\right)+\frac{4}{3} x^{3} + \frac{9}{2}x^{2}-5x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 4

    mm définie sur I=]0;+∞[I=\left]0;+\infty\right[ par m(x)=−8x−2x2+2x−1m\left(x\right)=-\frac{8}{x} -\frac{2}{x^{2}}+2x-1 .

    Correction
  • Une primitive de ln⁡(x)\ln \left(x\right) est 1x\frac{1}{x }
  • Une primitive de 1x2\frac{1}{x^{2}} est −1x-\frac{1}{x }
    • M(x)=−8ln⁡(x)+2x+x2−x+kM\left(x\right)=-8\ln \left(x\right) +\frac{2}{x}+x^{2}-x+k
    où kk est une constante réelle.