Théorème des gendarmes - Exercice 2

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Question 1

Déterminer lim⁡x→+∞cos⁡(x)+2x+3\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{\cos \left(x\right)+2}{x+3}

Correction
Pour tout réel xx , on sait que :
−1≤cos⁡(x)≤1-1\le \cos \left(x\right)\le 1 équivaut successivement à :
−1+2≤cos⁡(x)+2≤1+2-1+2\le \cos \left(x\right)+2\le 1+2
1≤cos⁡(x)+2≤31\le \cos \left(x\right)+2\le 3 , on va ensuite diviser par x+3x+3 qui est strictement positif car nous allons calculer la limite au voisinage de +∞+\infty.
1x+3≤cos⁡(x)+2x+3≤3x+3\frac{1}{x+3} \le \frac{\cos \left(x\right)+2}{x+3} \le \frac{3}{x+3}
D'une part : lim⁡x→+∞1x+3=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x+3} =0
D'autre part : lim⁡x→+∞3x+3=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3}{x+3} =0
D'après le théorème des gendarmes
lim⁡x→+∞cos⁡(x)+2x+3=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\cos \left(x\right)+2}{x+3} =0

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