Continuité

Théorème des gendarmes - Exercice 1

10 min
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Question 1
Soit ff une fonction définie pour tout réel xx non nul, par : 1xf(x)x1x2+1\frac{1}{x} \le f\left(x\right)\le \frac{x-1}{x^{2} +1} .

Calculez limx+f(x)\lim\limits_{x\to +\infty }f\left(x\right).

Correction
D'une part : limx+1x=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x} =0
D'autre part :
  • Au voisinage de ++\infty et de -\infty , la limite d'un polynôme est équivalent à la limite de son monôme de plus haut degré.
  • Autrement dit, à l'aide d'un exemple : limx+5x43x6+2x3x+1=limx+3x6=\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{4} -3x^{6}+2x^{3}-x+1=\lim\limits_{x\to +\infty }-3x^{6}=-\infty . En effet, le monôme de plus haut degré pour la fonction x5x43x6+2x3x+1x\mapsto 5x^{4} -3x^{6}+2x^{3}-x+1 est 3x6-3x^{6}.

  • limx+x1x2+1=limx+xx2\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x-1}{x^{2} +1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x}{x^{2}}
    limx+x1x2+1=limx+1x\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x-1}{x^{2} +1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x}
    limx+x1x2+1=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x-1}{x^{2} +1} =0
    D'après le théorème des gendarmes
    limx+f(x)=0\lim\limits_{x\to +\infty }f\left(x\right)=0

    Question 2
    Soit xx un réel tel que x0x\ne0 et x4x\ne4.
    Soit ff une fonction définie par : 3+2xf(x)6x12x83+\frac{2}{x} \le f\left(x\right)\le \frac{6x-1}{2x-8} .

    Calculez limxf(x)\lim\limits_{x\to -\infty }f\left(x\right).

    Correction
    D'une part : limx3+2x=3\lim\limits_{x\to -\infty } 3+\frac{2}{x} =3
    D'autre part :
  • Au voisinage de ++\infty et de -\infty , la limite d'un polynôme est équivalent à la limite de son monôme de plus haut degré.
  • Autrement dit, à l'aide d'un exemple : limx+5x43x6+2x3x+1=limx+3x6=\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{4} -3x^{6}+2x^{3}-x+1=\lim\limits_{x\to +\infty }-3x^{6}=-\infty . En effet, le monôme de plus haut degré pour la fonction x5x43x6+2x3x+1x\mapsto 5x^{4} -3x^{6}+2x^{3}-x+1 est 3x6-3x^{6}.
  • limx6x12x8=limx6x2x\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x-1}{2x-8} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x}{2x}
    limx6x12x8=limx62\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x-1}{2x-8} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6}{2}
    limx6x12x8=3\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x-1}{2x-8} =3
    D'après le théorème des gendarmes
    limxf(x)=3\lim\limits_{x\to -\infty }f\left(x\right)=3