Théorème des gendarmes - Exercice 1

10 min
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Question 1
Soit ff une fonction définie sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[ telle que, pour tout réel x>0x>0 : x−1x2+1≤f(x)≤1x\frac{x-1}{x^{2} +1} \le f\left(x\right)\le \frac{1}{x} .

Calculez lim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{x\to +\infty }f\left(x\right).

Correction
Remarque : cet encadrement est possible car, pour tout réel x>0x>0, 1x−x−1x2+1=x+1x(x2+1)>0\frac{1}{x}-\frac{x-1}{x^{2} +1}=\frac{x+1}{x\left(x^{2} +1\right)}>0.
D'une part : lim⁡x→+∞1x=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x} =0
D'autre part :
  • Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty , la limite d'un polynôme est égale à la limite de son monôme de plus haut degré.
  • Autrement dit, à l'aide d'un exemple : lim⁡x→+∞5x4−3x6+2x3−x+1=lim⁡x→+∞−3x6=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{4} -3x^{6}+2x^{3}-x+1=\lim\limits_{x\to +\infty }-3x^{6}=-\infty . En effet, le monôme de plus haut degré pour la fonction x↦5x4−3x6+2x3−x+1x\mapsto 5x^{4} -3x^{6}+2x^{3}-x+1 est −3x6-3x^{6}.

    • lim⁡x→+∞x−1x2+1=lim⁡x→+∞xx2\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x-1}{x^{2} +1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x}{x^{2}}
    lim⁡x→+∞x−1x2+1=lim⁡x→+∞1x\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x-1}{x^{2} +1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x}
    lim⁡x→+∞x−1x2+1=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x-1}{x^{2} +1} =0
    Pour tout réel x>0x>0, on a x−1x2+1≤f(x)≤1x\frac{x-1}{x^{2} +1} \le f\left(x\right)\le \frac{1}{x} et les deux fonctions qui encadrent ff ont la même limite 00 en +∞+\infty. D'après le théorème des gendarmes
    lim⁡x→+∞f(x)=0\lim\limits_{x\to +\infty }f\left(x\right)=0

    Question 2
    Soit ff une fonction définie sur ]−∞;−1]\left]-\infty;-1\right] telle que, pour tout réel x≤−1x\le -1 : 6x−12x−8≤f(x)≤3+2x\frac{6x-1}{2x-8} \le f\left(x\right)\le 3+\frac{2}{x} .

    Calculez lim⁡x→−∞f(x)\lim\limits_{x\to -\infty }f\left(x\right).

    Correction
    Remarque : cet encadrement est possible car, pour tout réel x≤−1x\le -1, 3+2x−6x−12x−8=−19x−16x(2x−8)>03+\frac{2}{x}-\frac{6x-1}{2x-8}=\frac{-19x-16}{x\left(2x-8\right)}>0 (le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs).D'une part : lim⁡x→−∞3+2x=3\lim\limits_{x\to -\infty } 3+\frac{2}{x} =3
    D'autre part :
  • Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty , la limite d'un polynôme est égale à la limite de son monôme de plus haut degré.
  • Autrement dit, à l'aide d'un exemple : lim⁡x→+∞5x4−3x6+2x3−x+1=lim⁡x→+∞−3x6=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{4} -3x^{6}+2x^{3}-x+1=\lim\limits_{x\to +\infty }-3x^{6}=-\infty . En effet, le monôme de plus haut degré pour la fonction x↦5x4−3x6+2x3−x+1x\mapsto 5x^{4} -3x^{6}+2x^{3}-x+1 est −3x6-3x^{6}.
    • lim⁡x→−∞6x−12x−8=lim⁡x→−∞6x2x\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x-1}{2x-8} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x}{2x}
    lim⁡x→−∞6x−12x−8=lim⁡x→−∞62\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x-1}{2x-8} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6}{2}
    lim⁡x→−∞6x−12x−8=3\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x-1}{2x-8} =3
    Pour tout réel x≤−1x\le -1, on a 6x−12x−8≤f(x)≤3+2x\frac{6x-1}{2x-8} \le f\left(x\right)\le 3+\frac{2}{x} et les deux fonctions qui encadrent ff ont la même limite 33 en −∞-\infty. D'après le théorème des gendarmes
    lim⁡x→−∞f(x)=3\lim\limits_{x\to -\infty }f\left(x\right)=3

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