Continuité

Théorème de comparaison - Exercice 1

10 min
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Soit ff une fonction définie sur [5;+[\left[5;+\infty\right[, par : f(x)5x3 f\left(x\right)\ge 5x^{3} .
Question 1

Calculez limx+f(x)x2\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{f\left(x\right)}{x^{2}}.

Correction
Nous savons que x[5;+[x\in\left[5;+\infty\right[ ainsi on vérifie aisément que x2>0x^{2}>0.
Nous pouvons donc écrire que :
f(x)5x3 f\left(x\right)\ge 5x^{3} équivaut successivement à :
f(x)x25x3x2 \frac{f\left(x\right)}{x^{2}}\ge \frac{5x^{3}}{x^{2}} ( nous avons divisé à gauche et à droite de l'inégalité par x2x^{2} )
f(x)x25x \frac{f\left(x\right)}{x^{2}}\ge 5x .
Or limx+5x=+\lim\limits_{x\to +\infty }5x=+\infty .
Comme limx+5x=+\lim\limits_{x\to +\infty }5x=+\infty et f(x)x25x \frac{f\left(x\right)}{x^{2}}\ge 5x alors d'après le théorème de comparaison
limx+f(x)x2=+\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{f\left(x\right)}{x^{2}}=+\infty
Question 2

Calculez limx+f(x)x3\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{f\left(x\right)}{x^{3}}.

Correction
Nous savons que x[5;+[x\in\left[5;+\infty\right[ ainsi on vérifie aisément que x3>0x^{3}>0.
Nous pouvons donc écrire que :
f(x)5x3 f\left(x\right)\ge 5x^{3} équivaut successivement à :
f(x)x35x3x3 \frac{f\left(x\right)}{x^{3}}\ge \frac{5x^{3}}{x^{3}} ( nous avons divisé à gauche et à droite de l'inégalité par x3x^{3} )
f(x)x35 \frac{f\left(x\right)}{x^{3}}\ge 5 .
Or limx+5=5\lim\limits_{x\to +\infty }5=5 .
Nous ne pouvons pas conclure. En effet, nous savons simplement que f(x)x35 \frac{f\left(x\right)}{x^{3}}\ge 5 . Mais cela ne nous donne aucunement la valeur de la limite de la fonction.
Nous n'avons pas assez éléments sur la fonction ff pour conclure.