Continuité

Problèmes utilisant la fonction racine carré - Exercice 3

25 min
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Question 1
La fonction gg est définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par : g(x)=x2+1x+1g\left(x\right)=\frac{x^{2} +1}{\sqrt{x} } +1. On note Cg\mathscr{C_{g}} la courbe représentative de la fonction gg.

Donner le signe de gg.

Correction
Soit : g(x)=x2+1x+1g\left(x\right)=\frac{x^{2} +1}{\sqrt{x} } +1
Pour tout réel xx appartenant à ]0;+[\left]0;+\infty \right[, on a :
x>0\sqrt{x}>0 et x2+1>0x^{2} +1>0.
Il en résulte donc que pour tout réel xx appartenant à ]0;+[\left]0;+\infty \right[, on a : g(x)>0g\left(x\right)>0.
Question 2

Déterminer la limite de gg en 00.

Correction
Si limxnombref(x)=+\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =+\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}
Si limxnombref(x)=\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}
limx0+x2+1=1limx0+x=0+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 0^{+} } x^{2} +1} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to 0^{+} } \sqrt{x}} & {=} & {0^{+} } \end{array}\right\} par quotient limx0+x2+1x=+\lim\limits_{x\to 0^{+} } \frac{x^{2} +1}{\sqrt{x} } =+\infty .
Finalement : limx0+x2+1x+1=+\lim\limits_{x\to 0^{+} } \frac{x^{2} +1}{\sqrt{x} } +1=+\infty
Interprétation graphique : la courbe admet une asymptote verticale d'équation x=0x=0.
Question 3

Montrer que g(x)=3x212xxg'\left(x\right)=\frac{3x^{2} -1}{2x\sqrt{x} } .

Correction
Soit : g(x)=x2+1x+1g\left(x\right)=\frac{x^{2} +1}{\sqrt{x} } +1
gg est dérivable sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[.
On reconnaît la forme (uv+w)=uvuvv2+w\left(\frac{u}{v}+w \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }+w' avec u(x)=x2+1u\left(x\right)=x^{2}+1 ; v(x)=xv\left(x\right)=\sqrt{x} et w(x)=1w\left(x\right)=1
Ainsi : u(x)=2xu'\left(x\right)=2x et v(x)=12xv'\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}} et w(x)=0w'\left(x\right)=0.
Il en résulte que :
g(x)=2xx(x2+1)×12x(x)2g'\left(x\right)=\frac{2x\sqrt{x} -\left(x^{2} +1\right)\times \frac{1}{2\sqrt{x} } }{\left(\sqrt{x} \right)^{2} } équivaut successivement à :
g(x)=2xx(x2+1)2x(x)2g'\left(x\right)=\frac{2x\sqrt{x} -\frac{\left(x^{2} +1\right)}{2\sqrt{x} } }{\left(\sqrt{x} \right)^{2} } . Il nous faut maintenant mettre tout au même dénominateur.
g(x)=2xx×2x2x(x2+1)2x(x)2g'\left(x\right)=\frac{\frac{2x\sqrt{x} \times 2\sqrt{x} }{2\sqrt{x} } -\frac{\left(x^{2} +1\right)}{2\sqrt{x} } }{\left(\sqrt{x} \right)^{2} }
g(x)=(4x2x212x)(x)2g'\left(x\right)=\frac{\left(\frac{4x^{2} -x^{2} -1}{2\sqrt{x} } \right)}{\left(\sqrt{x} \right)^{2} }
g(x)=(4x2x212x)xg'\left(x\right)=\frac{\left(\frac{4x^{2} -x^{2} -1}{2\sqrt{x} } \right)}{x} . Rappel : (ab)c=abc\frac{\left(\frac{a}{b} \right)}{c} =\frac{a}{bc}
g(x)=3x212xxg'\left(x\right)=\frac{3x^{2} -1}{2x\sqrt{x}}

Question 4

En déduire le tableau de variation de la fonction gg. (On ne demande pas la limite de gg en ++\infty.

Correction
Nous savons que gg est dérivable sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ et que g(x)=3x212xxg'\left(x\right)=\frac{3x^{2} -1}{2x\sqrt{x} } .
Pour tout réel xx appartenant à l'intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[, le dénominateur 2xx>02x\sqrt{x}>0 donc le signe de gg' dépend alors du signe de son dénominateur 3x21>03x^{2} -1>0.
Pour étudier le signe de 3x213x^{2} -1, nous allons utiliser le discriminant.
Δ=12\Delta =12
Comme Δ>0\Delta >0 alors le numérateur admet deux racines réelles distinctes notées x1x{}_{1} et x2x{}_{2} telles que :
x1=bΔ2ax{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=33x{}_{1} =-\frac{\sqrt{3} }{3}
x2=b+Δ2ax{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=33x{}_{2} =\frac{\sqrt{3} }{3}
a=3>0a=3>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que le numérateur est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
Ainsi :
Question 5

Déterminer une équation de la tangente à la courbe Cg\mathscr{C_{g}} au point d'abscisse 11.

Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=g(a)(xa)+g(a)y=g'\left(a\right)\left(x-a\right)+g\left(a\right).
Ici a=1a=1, ce qui donne, y=g(1)(x1)+g(1)y=g'\left(1\right)\left(x-1\right)+g\left(1\right).
1ère étape : calculer g(1)g\left(1\right)
g(1)=12+11+1g\left(1\right)=\frac{1^{2} +1}{\sqrt{1} } +1
g(1)=3g\left(1\right)=3
2ème étape : calculer g(1)g'\left(1\right)
g(1)=3×1212×1×1g'\left(1\right)=\frac{3\times 1^{2} -1}{2\times 1\times\sqrt{1}}
g(1)=1g'\left(1\right)=1
3ème étape : on remplace les valeurs de g(1)g\left(1\right) et de g(1)g'\left(1\right) dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
y=g(1)(x1)+g(1)y=g'\left(1\right)\left(x-1\right)+g\left(1\right)
y=1×(x1)+3y=1\times \left(x-1\right)+3
y=x1+3y=x-1+3
y=x+2y=x+2

Ainsi l'équation de la tangente à la courbe Cg\mathscr{C_{g}} au point d'abscisse 11 est alors y=x+2y=x+2.