Problèmes utilisant la fonction racine carré - Exercice 3

Soit : $$g\left(x\right)=\frac{x^{2} +1}{\sqrt{x} } +1$$
Pour tout réel $$x$$ appartenant à $$\left]0;+\infty \right[$$, on a :
$$\sqrt{x}>0$$ et $$x^{2} +1>0$$.
Il en résulte donc que pour tout réel $$x$$ appartenant à $$\left]0;+\infty \right[$$, on a : $$g\left(x\right)>0$$.

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 0^{+} } x^{2} +1} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to 0^{+} } \sqrt{x}} & {=} & {0^{+} } \end{array}\right\}$$ par quotient $$\lim\limits_{x\to 0^{+} } \frac{x^{2} +1}{\sqrt{x} } =+\infty$$ .
Finalement : $$\lim\limits_{x\to 0^{+} } \frac{x^{2} +1}{\sqrt{x} } +1=+\infty$$
Interprétation graphique : la courbe admet une asymptote verticale d'équation $$x=0$$.

Soit : $$g\left(x\right)=\frac{x^{2} +1}{\sqrt{x} } +1$$
$$g$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
On reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v}+w \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }+w'$$ avec $$u\left(x\right)=x^{2}+1$$ ; $$v\left(x\right)=\sqrt{x}$$ et $$w\left(x\right)=1$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=2x$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$ et $$w'\left(x\right)=0$$.
Il en résulte que :
$$g'\left(x\right)=\frac{2x\sqrt{x} -\left(x^{2} +1\right)\times \frac{1}{2\sqrt{x} } }{\left(\sqrt{x} \right)^{2} }$$ équivaut successivement à :
$$g'\left(x\right)=\frac{2x\sqrt{x} -\frac{\left(x^{2} +1\right)}{2\sqrt{x} } }{\left(\sqrt{x} \right)^{2} }$$ . Il nous faut maintenant mettre tout au même dénominateur.
$$g'\left(x\right)=\frac{\frac{2x\sqrt{x} \times 2\sqrt{x} }{2\sqrt{x} } -\frac{\left(x^{2} +1\right)}{2\sqrt{x} } }{\left(\sqrt{x} \right)^{2} }$$
$$g'\left(x\right)=\frac{\left(\frac{4x^{2} -x^{2} -1}{2\sqrt{x} } \right)}{\left(\sqrt{x} \right)^{2} }$$
$$g'\left(x\right)=\frac{\left(\frac{4x^{2} -x^{2} -1}{2\sqrt{x} } \right)}{x}$$ . Rappel : $$\frac{\left(\frac{a}{b} \right)}{c} =\frac{a}{bc}$$

Nous savons que $$g$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$ et que $$g'\left(x\right)=\frac{3x^{2} -1}{2x\sqrt{x} }$$.
Pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left]0;+\infty \right[$$, le dénominateur $$2x\sqrt{x}>0$$ donc le signe de $$g'$$ dépend alors du signe de son dénominateur $$3x^{2} -1>0$$.
Pour étudier le signe de $$3x^{2} -1$$, nous allons utiliser le discriminant.
$$\Delta =12$$
Comme $$\Delta >0$$ alors le numérateur admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =-\frac{\sqrt{3} }{3}$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{\sqrt{3} }{3}$$
$$a=3>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que le numérateur est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Ainsi :

Ici $$a=1$$, ce qui donne, $$y=g'\left(1\right)\left(x-1\right)+g\left(1\right)$$.
1^ère étape : calculer $$g\left(1\right)$$
$$g\left(1\right)=\frac{1^{2} +1}{\sqrt{1} } +1$$
$$g\left(1\right)=3$$
2^ème étape : calculer $$g'\left(1\right)$$
$$g'\left(1\right)=\frac{3\times 1^{2} -1}{2\times 1\times\sqrt{1}}$$
$$g'\left(1\right)=1$$
3^ème étape : on remplace les valeurs de $$g\left(1\right)$$ et de $$g'\left(1\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=g'\left(1\right)\left(x-1\right)+g\left(1\right)$$
$$y=1\times \left(x-1\right)+3$$
$$y=x-1+3$$

Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$\mathscr{C_{g}}$$ au point d'abscisse $$1$$ est alors $$y=x+2$$.