Le théorème des valeurs intermédiaires : niveau difficile - Exercice 2

$$f$$ est dérivable sur $$\left[-5;0\right]$$ car ici le dénominateur ne s'annule que pour les valeurs $$1$$ et $$4$$. ( c'est facile à montrer on calcule le delta du dénominateur mais on ne nous le demande pas ).
On reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=2x^{3}+2x^{2}-8x+10$$ et $$v\left(x\right)=x^{2}-4x+5$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=6x^{2}+4x-8$$ et $$v'\left(x\right)=2x-4$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(6x^{2}+4x-8\right)\times \left(x^{2}-4x+5\right)-\left(2x^{3}+2x^{2}-8x+10\right)\times \left(2x-4\right)}{\left(x^{2}-4x+5\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(6x^{4}-24x^{3}+30x^{2}+4x^{3}-16x^{2}+20x-8x^{2}+32x-40\right)-\left(4x^{4} -8x^{3}+4x^{3}-8x^{2}-16x^{2}+32x+20x-40\right)}{\left(x^{2}-4x+5\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(6x^{4} -20x^{3}+6x^{2}+52x-40\right)-\left(4x^{4} -4x^{3}-24x^{2}+52x-40\right)}{\left(x^{2}-4x+5\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{6x^{4} -20x^{3}+6x^{2}+52x-40-4x^{4}+4x^{3}+24x^{2}-52x+40}{\left(x^{2}-4x+5\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{2x^{4}-16x^{3}+30x^{2}}{\left(x^{2}-4x+5\right)^{2} }$$ . Nous allons maintenant décomposer par $${\color{blue}{2x^{2}}}$$ les termes du numérateur pour obtenir un facteur commun.
$$f'\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{2x^{2}}} \times x^{2} -{\color{blue}{2x^{2}}} \times 8x+{\color{blue}{2x^{2}}} \times 15}{\left(x^{2} -4x+5\right)^{2} }$$ . Nous factorisons maintenant par $${\color{blue}{2x^{2}}}$$ .

Pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[-5;0\right]$$ , on peut affirmer que :
$$2x^{2} \ge 0$$ car un carré est positif ou nul.
$$\left(x^{2}-4x+5\right)^{2}\ge 0$$ car un carré est positif ou nul.
Il en résulte donc que le signe de $$f'$$ ne dépend que du signe de $$x^{2} -8x+15$$.
Pour l'étude du signe de $$x^{2} -8x+15$$, on va utiliser le discriminant.
Alors $$a=1$$; $$b=-8$$ et $$c=15$$.
Or $$\Delta =b^{2} -4ac$$ donc $$\Delta =4$$.
Il existe donc deux racines réelles distinctes.

• $$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{1} =3$$.
• $$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{2} =5$$.

Comme $$a=1>0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines. Pour nous aider à visualiser, nous allons dresser le tableau de signe de $$x^{2} -8x+15$$ sur $$\mathbb{R}$$ puis ensuite nous regarderons plus précisément le signe de $$x^{2} -8x+15$$ sur $$\left[-5;0\right]$$ .
Cela signifie donc que sur l'intervalle $$\left[-5;0\right]$$, on a : $$x^{2} -8x+15>0$$ comme cela se vérifie à l'aide du tableau de signe ci-dessus.
On en déduit le tableau de variation suivant :

Nous faisons apparaître le zéro recherché dans le tableau de variation donnée. Il vient alors que :
Sur $$\left[-5;0\right]$$ , la fonction $$f$$ est continue et strictement croissante.
De plus, $$f\left(-5\right)=-3$$ et $$f\left(0\right)=2$$ .
Or $$0 \in \left[-3;2\right]$$ , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\left[-5;0\right]$$ tel que $$f(x) = 0$$.
A la calculatrice, on vérifie que :
$$f(-2,94)\approx-0,0006$$ et $$f(-2,93)\approx0,0119$$
Or $$0 \in \left[-0,0006;0,0119\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que : $$-2,94\le\alpha\le-2,93$$

Sur $$\left[-5;0\right]$$, la fonction $$f$$ est continue et strictement croissante et $$f(\alpha) = 0$$
Donc $$f(x)\le0$$ pour tout $$x\in \left[-5;\alpha\right]$$ et $$f(x)\ge0$$ pour tout $$x\in\left[\alpha;0\right]$$
On résume cela dans un tableau de signe :