Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 3

D'une part : $$\lim _{x \rightarrow -\infty}{x^{3} -12x-16}$$ . Au voisinage de $$-\infty$$, un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré. Autrement dit, on n'étudie que la limite du monôme de plus haut degré.
Donc :
D'autre part : $$\lim _{x \rightarrow +\infty}{x^{3} -12x-16}$$ . Au voisinage de $$+\infty$$, un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré. Autrement dit, on n'étudie que la limite du monôme de plus haut degré.
Donc :

$$g$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$.
Il vient alors que :
$$g'\left(x\right) = 3x^{2}-12$$.
Il s'agit d'une équation du second degré, on calcule le discriminant et on détermine les racines.
Ainsi : $$\Delta = 144$$ , il existe donc deux racines réelles distinctes telles que : $$x_{1} = -2$$ et $$x_{2} = 2$$.
On en déduit le tableau de signe de $$g'$$ ainsi que le tableau de variation de $$g$$. On indiquera les valeurs des extrema.
De plus:
$$g\left(-2\right) = \left(-2\right)^{3} -12\times\left(-2\right)-16$$ ainsi $$g\left(-2\right) = 0$$
$$g\left(2\right) = 2^{3} -12\times2-16$$ ainsi $$g\left(2\right) = -32$$

Nous faisons apparaître les deux zéro recherchés dans le tableau de variation donnée. Il vient alors que : D'après la question $$2$$, nous avons vu que $$g\left(-2\right) = 0$$. Il s'agit de la première solution et unique solution sur l'intervalle $$\left]-\infty;2 \right]$$.
Sur $$\left[2 ;+\infty \right[$$, la fonction $$g$$ est continue et strictement croissante.
De plus, $$g\left(2\right) = -32$$ et $$\lim _{x \rightarrow +\infty}{g\left(x\right)} = +\infty$$ .
Or $$0\in \left[-32 ;+\infty \right[$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ appartenant à l'intervalle $$\left[2 ;+\infty \right[$$ tel que $$g\left(x\right)=0$$.

A la calculatrice, on vérifie que : $$g\left(4\right)=0$$
On en déduit que :

Sur $$\left]-\infty ;2\right]$$, la fonction $$g$$ admet un maximum qui vaut $$0$$, donc $$g\left(x\right)\le0$$ pour tout $$x\in \left]-\infty ;2\right]$$.
Sur $$\left[2;+\infty\right[$$, la fonction $$g$$ est continue et strictement croissante et $$g(\alpha)=g(4) = 0$$
Donc $$g(x)\le0$$ pour tout $$x\in\left[2;4\right]$$ et $$g(x)\ge0$$ pour tout $$x\in\left[4;+\infty\right[$$
On résume cela dans un tableau de signe :

D'une part calculons la limite de $$f$$ en $$+\infty$$.
On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par $$x^{3}$$ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par $$x^{2}$$.
Il vient :
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{3} +2x^{2} }{x^{2}-4} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{3}\left(\frac{x^{3} +2x^{2}}{x^{3}} \right)}{x^{2}\left(\frac{x^{2}-4}{x^{2}} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{3} +2x^{2} }{x^{2}-4} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{x^{3} }{x^{3} } +\frac{2x^{2}}{x^{3} } \right) }{\frac{x^{2}}{x^{2}} -\frac{4}{x^{2}} }$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{3} +2x^{2} }{x^{2}-4} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(1 +\frac{2}{x} \right) }{1-\frac{4}{x^{2}} }$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x\left(1 +\frac{2}{x} \right) } & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 1-\frac{4}{x^{2}}} & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ par quotient :
D'autre part calculons la limite de $$g$$ en $$2^{+}$$.
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 2^{+} } x^{3} +2x^{2}} & {=} & {16} \\ {\lim\limits_{x\to 2^{+} } x^{2}-4} & {=} & {0^{+} } \end{array}\right\}$$ par quotient :
Interprétation graphique : la courbe admet une asymptote verticale d'équation $$x=2$$.

On reconnait la forme $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$ avec $$u(x)=x^{3}+2x^{2}$$ et $$v(x)=x^{2}-4$$
Ainsi : $$u'(x)=3x^{2}+4x$$ et $$v'(x)=2x$$
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(3x^{2} +4x\right)\times \left(x^{2}-4\right)-\left(x^{3} +2x^{2} \right)\times 2x}{\left(x^{2}-4\right)^{2} }$$ équivaut successivement à :
$$f'\left(x\right)=\frac{3x^{4} -12x^{2} +4x^{3} -16x-2x^{4} -4x^{3} }{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{x^{4} -12x^{2} -16x}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$ . On factorise le numérateur par $$x$$
$$f'\left(x\right)=\frac{x\left(x^{3} -12x-16\right)}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$ .
Ainsi :

Pour tout réel $$x\in\left]2;+\infty \right[$$, on vérifie aisément que $$x>0$$ et que $$\left(x^{2} -4\right)^{2}>0$$.
Il en résulte donc que le signe de $$f'$$ dépend alors du signe de la fonction $$g$$.
Or d'après la question $$6$$, nous connaissons le signe de la fonction $$g$$ que l'on rappelle ci-dessous.
. Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]2;4\right[$$ alors $$g\left(x\right)\le0$$
• si $$x\in\left[4;+\infty\right[$$ alors $$g\left(x\right)\ge0$$

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation de la fonction $$f$$.
De plus : $$f\left(4\right)=\frac{4^{3} +2\times4^{2} }{4^{2}-4}$$ ainsi

Soit la fonction $$d$$ telle que : $$d\left(x\right)=f\left(x\right)-\left(x+2\right)$$. Etudions le signe de $$d$$.
$$d\left(x\right)=\frac{x^{3} +2x^{2} }{x^{2} -4} -\left(x+2\right)$$
$$d\left(x\right)=\frac{x^{3} +2x^{2} }{x^{2} -4} -\frac{\left(x+2\right)\left(x^{2} -4\right)}{x^{2} -4}$$
$$d\left(x\right)=\frac{x^{3} +2x^{2} -\left(x+2\right)\left(x^{2} -4\right)}{x^{2} -4}$$
$$d\left(x\right)=\frac{x^{3} +2x^{2} -\left(x+2\right)\left(x^{2} -4\right)}{x^{2} -4}$$
$$d\left(x\right)=\frac{x^{3} +2x^{2} -\left(x^{3} -4x+2x^{2} -8\right)}{x^{2} -4}$$
$$d\left(x\right)=\frac{x^{3} +2x^{2} -x^{3} +4x-2x^{2} +8}{x^{2} -4}$$
Ainsi :
Pour tout réel $$x\in\left]2;+\infty \right[$$, on vérifie facilement que $$4x+8>0$$ et $$x^{2} -4>0$$.
Il en résulte donc que : $$d\left(x\right)>0$$
Ainsi : $$f\left(x\right)-\left(x+2\right)>0$$ et donc $$f\left(x\right)>x+2$$.
Géométriquement, cela signifie que la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$ représentative de la fonction $$f$$ est au-dessus de la droite $$D$$.