Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 1

D'une part : $$\lim _{x \rightarrow -\infty}{4x^{3}+3x-4}$$ . Au voisinage de $$-\infty$$, un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré. Autrement dit, on n'étudie que la limite du monôme de plus haut degré.
Donc :
D'autre part : $$\lim _{x \rightarrow +\infty}{4x^{3}+3x-4}$$ . Au voisinage de $$+\infty$$, un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré. Autrement dit, on n'étudie que la limite du monôme de plus haut degré.
Donc :

$$g$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$.
. Pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$ , on sait que $$x^{2}\ge0$$ et de ce fait $$12x^{2}+3>0$$.
Il en résulte donc que $$g'\left(x\right)>0$$ et de ce fait $$g$$ est strictement croissante sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$.

On reprend le tableau de variation fait à la question $$2$$. On fera apparaître le zéro que l'on recherche.

• Sur $$\left]-\infty;+\infty\right[$$ , la fonction $$g$$ est continue et strictement croissante.
  De plus, $$\lim _{x \rightarrow -\infty}{g\left(x\right)} = -\infty$$ et $$\lim _{x \rightarrow +\infty}{g\left(x\right)} = +\infty$$ .
  Or $$0 \in \left]-\infty;+\infty\right[$$ , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\left]-\infty;+\infty\right[$$ tel que $$g(x) = 0$$

A la calculatrice, on vérifie que :
$$g(0,75)\approx-0,062$$ et $$g(0,76)\approx0,0359$$
Or $$0 \in \left[-0,062;0,0359\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que : $$0,75\le\alpha\le0,76$$

Sur $$\left]-\infty;+\infty \right[$$, la fonction $$g$$ est continue et strictement croissante et $$g(\alpha) = 0$$
Donc $$g(x)\le0$$ pour tout $$x\in\left]-\infty;\alpha\right]$$ et $$g(x)\ge0$$ pour tout $$x\in\left[\alpha;+\infty\right[$$
On résume cela dans un tableau de signe :

$$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$
On reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=-8x^{3}-4$$ et $$v\left(x\right)=4x^{2}+1$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-24x^{2}$$ et $$v'\left(x\right)=8x$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{-24x^{2} \times \left(4x^{2} +1\right)-\left(-8x^{3} -4\right)\times 8x}{\left(4x^{2} +1\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-96x^{4} -24x^{2} -\left(-64x^{4} -32x\right)}{\left(4x^{2} +1\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-96x^{4} -24x^{2} +64x^{4} +32x}{\left(4x^{2} +1\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-32x^{4} -24x^{2} +32x}{\left(4x^{2} +1\right)^{2} }$$ . Nous allons factoriser le numérateur par $$-8x$$ .
$$f'\left(x\right)=\frac{-8x\left(4x^{3} +3x-4\right)}{\left(4x^{2} +1\right)^{2} }$$

Nous savons que $$f'\left(x\right)=\frac{-8xg\left(x\right)}{\left(4x^{2} +1\right)^{2} }$$.
Pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$, nous connaissons le signe de $$g$$ à l'aide de la question $$5$$. De plus, $$\left(4x^{2} +1\right)^{2}>0$$. Le signe de $$f'$$ dépend donc du signe de $$-8x$$.
Sur $$\left]-\infty ;0\right]$$ , on aura $$-8x\ge0$$ et sur $$\left]0;+\infty \right]$$ , on aura $$-8x\le0$$
Nous allons dresser ci-dessous le tableau de variation de $$f$$.