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Exercices types : 22ème partie - Exercice 1

40 min
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On considère la fonction ff une fonction définie sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[ par : f(x)=−8x3−44x2+1f\left(x\right)=\frac{-8x^{3}-4}{4x^{2}+1} et Cf\mathscr{C_f} sa courbe représentative dans un repère du plan.
Etude d'une fonction auxiliaire.
On pose g(x)=4x3+3x−4g\left(x\right)=4x^{3}+3x-4 .
Question 1

Déterminer la limite de la fonction gg en −∞-\infty et en +∞+\infty .

Correction
D'une part : lim⁡x→−∞4x3+3x−4\lim _{x \rightarrow -\infty}{4x^{3}+3x-4} . Au voisinage de −∞-\infty, un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré. Autrement dit, on n'étudie que la limite du monôme de plus haut degré.
Donc :
lim⁡x→−∞4x3+3x−4=lim⁡x→−∞4x3=−∞\lim _{x \rightarrow -\infty}{4x^{3}+3x-4}=\lim _{x \rightarrow -\infty}{4x^{3}} = -\infty

D'autre part : lim⁡x→+∞4x3+3x−4\lim _{x \rightarrow +\infty}{4x^{3}+3x-4} . Au voisinage de +∞+\infty, un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré. Autrement dit, on n'étudie que la limite du monôme de plus haut degré.
Donc :
lim⁡x→+∞4x3+3x−4=lim⁡x→+∞4x3=+∞\lim _{x \rightarrow +\infty}{4x^{3}+3x-4}=\lim _{x \rightarrow +\infty}{4x^{3}} = +\infty

Question 2

Déterminer le tableau de variation de la fonction gg sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[.

Correction
gg est dérivable sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[.
g′(x)=12x2+3g'\left(x\right)=12x^{2}+3
. Pour tout réel xx appartenant à l'intervalle ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[ , on sait que x2≥0x^{2}\ge0 et de ce fait 12x2+3>012x^{2}+3>0.
Il en résulte donc que g′(x)>0g'\left(x\right)>0 et de ce fait gg est strictement croissante sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[.
Question 3

Démontrer que l'équation g(x)=0g\left(x\right)=0 admet une unique solution sur l'intervalle ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty \right[.
On notera α\alpha cette solution.

Correction
On reprend le tableau de variation fait à la question 22. On fera apparaître le zéro que l'on recherche.

  • Sur ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty\right[ , la fonction gg est continue et strictement croissante.
    De plus, lim⁡x→−∞g(x)=−∞\lim _{x \rightarrow -\infty}{g\left(x\right)} = -\infty et lim⁡x→+∞g(x)=+∞\lim _{x \rightarrow +\infty}{g\left(x\right)} = +\infty .
    Or 0∈]−∞;+∞[0 \in \left]-\infty;+\infty\right[ , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α\alpha dans ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty\right[ tel que g(x)=0g(x) = 0
Question 4

Déterminer un encadrement de α\alpha à 10−210^{-2} près.

Correction
A la calculatrice, on vérifie que :
g(0,75)≈−0,062g(0,75)\approx-0,062 et g(0,76)≈0,0359g(0,76)\approx0,0359
Or 0∈[−0,062;0,0359]0 \in \left[-0,062;0,0359\right], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que : 0,75≤α≤0,760,75\le\alpha\le0,76
Question 5

En déduire le signe de gg sur l'intervalle ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty \right[.

Correction
Sur ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty \right[, la fonction gg est continue et strictement croissante et g(α)=0g(\alpha) = 0
Donc g(x)≤0g(x)\le0 pour tout x∈]−∞;α]x\in\left]-\infty;\alpha\right] et g(x)≥0g(x)\ge0 pour tout x∈[α;+∞[x\in\left[\alpha;+\infty\right[
On résume cela dans un tableau de signe :
Question 6
Etude de la fonction ff.
On considère la fonction ff une fonction définie sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[ par : f(x)=−8x3−44x2+1f\left(x\right)=\frac{-8x^{3}-4}{4x^{2}+1} et Cf\mathscr{C_f} sa courbe représentative dans un repère du plan.

Calculer f′(x)f'\left(x\right) puis vérifier que f′(x)=−8xg(x)(4x2+1)2f'\left(x\right)=\frac{-8xg\left(x\right)}{\left(4x^{2} +1\right)^{2} } .

Correction
ff est dérivable sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[
On reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=−8x3−4u\left(x\right)=-8x^{3}-4 et v(x)=4x2+1v\left(x\right)=4x^{2}+1
Ainsi : u′(x)=−24x2u'\left(x\right)=-24x^{2} et v′(x)=8xv'\left(x\right)=8x.
Il vient alors que :
f′(x)=−24x2×(4x2+1)−(−8x3−4)×8x(4x2+1)2f'\left(x\right)=\frac{-24x^{2} \times \left(4x^{2} +1\right)-\left(-8x^{3} -4\right)\times 8x}{\left(4x^{2} +1\right)^{2} }
f′(x)=−96x4−24x2−(−64x4−32x)(4x2+1)2f'\left(x\right)=\frac{-96x^{4} -24x^{2} -\left(-64x^{4} -32x\right)}{\left(4x^{2} +1\right)^{2} }
f′(x)=−96x4−24x2+64x4+32x(4x2+1)2f'\left(x\right)=\frac{-96x^{4} -24x^{2} +64x^{4} +32x}{\left(4x^{2} +1\right)^{2} }
f′(x)=−32x4−24x2+32x(4x2+1)2f'\left(x\right)=\frac{-32x^{4} -24x^{2} +32x}{\left(4x^{2} +1\right)^{2} } . Nous allons factoriser le numérateur par −8x-8x .
f′(x)=−8x(4x3+3x−4)(4x2+1)2f'\left(x\right)=\frac{-8x\left(4x^{3} +3x-4\right)}{\left(4x^{2} +1\right)^{2} }
f′(x)=−8xg(x)(4x2+1)2f'\left(x\right)=\frac{-8xg\left(x\right)}{\left(4x^{2} +1\right)^{2} }

Question 7

Dresser le tableau de variation de ff. La justification des limites n'est pas demandée.

Correction
Nous savons que f′(x)=−8xg(x)(4x2+1)2f'\left(x\right)=\frac{-8xg\left(x\right)}{\left(4x^{2} +1\right)^{2} } .
Pour tout réel xx appartenant à l'intervalle ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[, nous connaissons le signe de gg à l'aide de la question 55. De plus, (4x2+1)2>0\left(4x^{2} +1\right)^{2}>0. Le signe de f′f' dépend donc du signe de −8x-8x.
Sur ]−∞;0]\left]-\infty ;0\right] , on aura −8x≥0-8x\ge0 et sur ]0;+∞]\left]0;+\infty \right] , on aura −8x≤0-8x\le0
Nous allons dresser ci-dessous le tableau de variation de ff.