Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 4

$$\pink{\text{D'une part :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -2x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -2x^{2}+10x+18 } & {=} & {-\infty }\end{array}\right\}$$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $$+\infty -\infty$$

$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}}$$ $$\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}}$$ $$\blue{x^{3} }$$.
$$\lim\limits_{x\to -\infty } -2x^{3}-2x^{2}+10x+18=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{3} \left(\frac{-2x^{3}-2x^{2}+10x+18}{x^{3} } \right)$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } -2x^{3}-2x^{2}+10x+18=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{3} \left(-\frac{2x^{3} }{x^{3} } -\frac{2x^2}{x^{3} } +\frac{10x}{x^{3} }+\frac{18}{x^{3} } \right)$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } -2x^{3}-2x^{2}+10x+18=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{3} \left(-2-\frac{2}{x}+\frac{10}{x^{2} } +\frac{18}{x^{3} } \right)$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{3} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -2-\frac{2}{x}+\frac{10}{x^{2} } +\frac{18}{x^{3}} } & {=} & {-2} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par produit :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$
$$\pink{\text{D'autre part :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -2x^{3}-2x^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty }10x+18} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $$+\infty -\infty$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}}$$ $$\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}}$$ $$\blue{x^{3} }$$.
$$\lim\limits_{x\to +\infty } -2x^{3}-2x^{2}+10x+18=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(\frac{-2x^{3}-2x^{2}+10x+18}{x^{3} } \right)$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } -2x^{3}-2x^{2}+10x+18=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(-\frac{2x^{3} }{x^{3} } -\frac{2x^2}{x^{3} } +\frac{10x}{x^{3} }+\frac{18}{x^{3} } \right)$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } -2x^{3}-2x^{2}+10x+18=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(-2-\frac{2}{x}+\frac{10}{x^{2} } +\frac{18}{x^{3} } \right)$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -2-\frac{2}{x}+\frac{10}{x^{2} } +\frac{18}{x^{3}} } & {=} & {-2} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par produit :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$

$$g$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$.
Il en résulte donc que :
$$g'\left(x\right)=-6x^{2} -4x^{2}+10$$ , c'est une équation du second degré, on calcule le discriminant et on détermine les racines.
Ainsi : $$\Delta = 256$$ , il existe donc deux racines réelles distinctes telles que : $$x_{1} = -\frac{5}{3}$$ et $$x_{2} = 1$$.
Comme $$a=-6<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$g'$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de signe de $$g'$$ ainsi que le tableau de variation de $$g$$. On indiquera les valeurs des extrema.
$$g\left(-\frac{5}{3}\right)=-2\times\left(-\frac{5}{3}\right)^{3} -2\times\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}+10\times\left(-\frac{5}{3}\right)+18$$ ainsi
$$g\left(1\right)=-2\times1^{3} -2\times1^{2}+10\times1+18$$ ainsi

On reprend le tableau de variation fait à la question $$2$$. On fera apparaître le zéro que l'on recherche.
De plus :

• Sur $$\left]-\infty;1\right]$$ , la fonction $$g$$ est continue et admet $$\frac{136}{27}$$ comme minimum.
  La fonction $$g$$ est strictement positive.
  Donc l'équation $$g(x)=0$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
• Sur $$\left[1;+\infty\right[$$ , la fonction $$g$$ est continue et strictement décroissante.
  De plus, $$g\left(1\right)=24$$ et $$\lim _{x \rightarrow +\infty}{g(x)} = -\infty$$
  Or $$0 \in \left]-\infty;24\right]$$ , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\mathbb{R}$$ tel que $$g(x) = 0$$
  

A la calculatrice, on vérifie que :
$$g(2,47)\approx0,3597$$ et $$g(2,48)\approx-0,006$$
Or $$0 \in \left[-0,006;0,3597\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que : $$2,47\le\alpha\le2,48$$

Sur $$\left]-\infty;1\right]$$, la fonction $$g$$ est continue et admet $$\frac{136}{27}$$ comme minimum. La fonction $$g$$ est strictement positive.
Sur $$\left[1;+\infty\right[$$, la fonction $$g$$ est continue et strictement décroissante et $$g(\alpha) = 0$$
Donc $$g(x)\ge0$$ pour tout $$x\in\left]-\infty;\alpha\right]$$ et $$g(x)\le0$$ pour tout $$x\in\left[\alpha;+\infty\right[$$
On résume cela dans un tableau de signe :