Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 2

$$\pink{\text{D'une part :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{3} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -3x-3} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $$+\infty -\infty$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}}$$ $$\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}}$$ $$\blue{x^{3} }$$.
$$\lim\limits_{x\to -\infty } x^{3} -3x-3=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{3} \left(\frac{x^{3}-3x-3}{x^{3} } \right)$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } x^{3} -3x-3=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{3} \left(\frac{x^{3} }{x^{3} } -\frac{3x}{x^{3} } -\frac{3}{x^{3} } \right)$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } x^{3} -3x-3=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{3} \left(1-\frac{3}{x^2} -\frac{3}{x^{3} } \right)$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{3} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 1-\frac{3}{x^2} -\frac{3}{x^{3} } } & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par produit :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$
$$\pink{\text{D'autre part :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -3x-3} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $$+\infty -\infty$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}}$$ $$\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}}$$ $$\blue{x^{3} }$$.
$$\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} -3x-3=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(\frac{x^{3}-3x-3}{x^{3} } \right)$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} -3x-3=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(\frac{x^{3} }{x^{3} } -\frac{3x}{x^{3} } -\frac{3}{x^{3} } \right)$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} -3x-3=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(1-\frac{3}{x^2} -\frac{3}{x^{3} } \right)$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 1-\frac{3}{x^2} -\frac{3}{x^{3} } } & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par produit :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$

$$g$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$.
On va commencer par calculer la dérivée de $$g$$.
Il vient alors que :
$$g$$ est dérivable sur $$\left]-\infty;+\infty\right[$$, pour tout réel $$x \in \left]-\infty;+\infty\right[$$, on a :
$$g'(x) = 3x^{2} -3$$ , c'est une équation du second degré, on calcule le discriminant et on détermine les racines.
Ainsi : $$\Delta = 36$$ , il existe donc deux racines réelles distinctes telles que : $$x_{1} = -1$$ et $$x_{2} = 1$$.
Comme $$a=3>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$g'$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de signe de $$g'$$ ainsi que le tableau de variation de $$g$$. On indiquera les valeurs des extrema.
De plus:
$$g(-1) = (-1)^{3} -3\times(-1)^{2} - 3$$ ainsi
$$g(1) = 1^{3} -3\times1^{2} - 3$$ ainsi

On reprend le tableau de variation fait à la question $$2$$.
On fera apparaître le zéro que l'on recherche.
De plus :

• Sur $$\left]-\infty;1\right[$$ , la fonction $$g$$ est continue et admet $$-1$$ comme maximum.
  La fonction $$g$$ est strictement négative.
  Donc l'équation $$g(x)=0$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
• Sur $$\left[1;+\infty\right[$$ , la fonction $$g$$ est continue et strictement croissante.
  De plus, $$g(1)=-5$$ et $$\lim _{x \rightarrow +\infty}{g(x)} = +\infty$$
  Or $$0 \in \left]-5;+\infty\right[$$ , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\mathbb{R}$$ tel que $$g(x) = 0$$
  

A la calculatrice, on vérifie que :
$$g(2,1)\approx-0,039$$ et $$g(2,11)\approx0,0639$$
Or $$0 \in \left[-0,039;0,0639\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que :

Sur $$\left]-\infty;1\right]$$, la fonction $$g$$ est continue et admet $$-1$$ comme maximum. La fonction $$g$$ est strictement négative.
Sur $$\left[1;+\infty\right[$$, la fonction $$g$$ est continue et strictement croissante et $$g(\alpha) = 0$$
Donc $$g(x)\le0$$ pour tout $$x\in\left]-\infty;\alpha\right]$$ et $$g(x)\ge0$$ pour tout $$x\in\left[\alpha;+\infty\right[$$
On résume cela dans un tableau de signe :

$$f$$ est une fraction rationnelle.
$$f$$ est définie pour toutes les valeurs réelles sauf celles qui annulent le dénominateur.
Résolvons donc $$x^{2} -1=0$$.
Il s'agit d'une équation du second degré, on utilise donc le discriminant.

On donnera directement les résultats : $$x^{2} -1=0$$ équivaut à : $$S=\left\{-1;1\right\}$$

Il en résulte que le domaine de définition est :

$$Df=\mathbb{R}-\left\{-1;1\right\}$$ ou encore $$Df=\left]-\infty ;-1\right[\cup \left]-1;1\right[\cup \left]1+\infty \right[$$

On va calculer la limite en $$-\infty$$ par les deux méthodes proposées en terminale S :
Méthode 1 :
$$\lim _{x\rightarrow-\infty}\frac{2x^{3}+3}{x^{2}-1}=\lim _{x\rightarrow-\infty}\frac{2x^{3}}{x^{2}}$$ (au voisinage de $$-\infty$$, on ne garde que les monômes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur)
Ainsi : $$\lim _{x\rightarrow-\infty}\frac{2x^{3}}{x^{2}}=\lim _{x\rightarrow-\infty}2x=-\infty$$
Finalement : $$\lim _{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$$
Méthode 2 : Au voisinage de $$-\infty$$, on factorise par le monôme de plus haut degré.
$$\lim _{x\rightarrow-\infty}\frac{2x^{3}+3}{x^{2}-1}=\lim _{x\rightarrow-\infty}\frac{x^{2}\left(2x+\frac{3}{x^{2}}\right)}{x^{2}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)}$$ (au voisinage de $$-\infty$$, on factorise par $$x^{2}$$ le monôme du plus haut degré au numérateur et on factorise par $$x^{2}$$ le monôme du plus haut degré au dénominateur)
Ainsi : $$\lim _{x\rightarrow-\infty}\frac{2x^{3}+3}{x^{2}-1}=\lim _{x\rightarrow-\infty}\frac{2x+\frac{3}{x^{2}}}{1-\frac{1}{x^{2}}}$$
D'où : $$\left. \begin{array}{ccc} {\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } 2x+\frac{3}{x^{2} } } & {=} & {-\infty } \\ {\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } 1-\frac{1}{x^{2} } } & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ par quotient : $$\lim _{x\rightarrow-\infty}\frac{2x^{3}+3}{x^{2}-1}=-\infty$$
Finalement : $$\lim _{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$$

On va calculer la limite en $$+\infty$$ par les deux méthodes proposées en terminale S :
Méthode 1 :
$$\lim _{x\rightarrow+\infty}\frac{2x^{3}+3}{x^{2}-1}=\lim _{x\rightarrow+\infty}\frac{2x^{3}}{x^{2}}$$ (au voisinage de $$+\infty$$, on ne garde que les monômes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur)
Ainsi : $$\lim _{x\rightarrow+\infty}\frac{2x^{3}}{x^{2}}=\lim _{x\rightarrow+\infty}2x=+\infty$$
Finalement : $$\lim _{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$$
Méthode 2 : Au voisinage de $$+\infty$$, on factorise par le monôme de plus haut degré.
$$\lim _{x\rightarrow+\infty}\frac{2x^{3}+3}{x^{2}-1}=\lim _{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{2}\left(2x+\frac{3}{x^{2}}\right)}{x^{2}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)}$$ (au voisinage de $$+\infty$$, on ne garde que les monômes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur)
Ainsi : $$\lim _{x\rightarrow+\infty}\frac{2x^{3}+3}{x^{2}-1}=\lim _{x\rightarrow+\infty}\frac{2x+\frac{3}{x^{2}}}{1-\frac{1}{x^{2}}}$$
D'où : $$\left. \begin{array}{ccc} {\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } 2x+\frac{3}{x^{2} } } & {=} & {+\infty } \\ {\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } 1-\frac{1}{x^{2} } } & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ par quotient : $$\lim _{x\rightarrow+\infty}\frac{2x^{3}+3}{x^{2}-1}=+\infty$$
Finalement : $$\lim _{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$$

On va calculer la limite en $$1^{+}$$ :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}} 2x^{3} +3} & {=} & {5} \\ {\lim\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}} x^{2} -1} & {=} & {0^{+} } \end{array}\right\}\text{par quotient : }$$$$\lim\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}} \frac{2x^{3} +3}{x^{2} -1} =+\infty$$
Il en résulte que la droite d'équation est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction $$f$$.

On va calculer la limite en $$1^{-}$$ :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x<1} \end{array}} 2x^{3} +3} & {=} & {5} \\ {\lim\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x<1} \end{array}} x^{2} -1} & {=} & {0^{-} } \end{array}\right\}\text{par quotient : }$$$$\lim\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x<1} \end{array}} \frac{2x^{3} +3}{x^{2} -1} =-\infty$$
Il en résulte que la droite d'équation est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction $$f$$.

On va calculer la limite en $$-1^{-}$$ :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{\begin{array}{l} {x\to -1} \\ {x<-1} \end{array}} 2x^{3} +3} & {=} & {5} \\ {\lim\limits_{\begin{array}{l} {x\to -1} \\ {x<-1} \end{array}} x^{2} -1} & {=} & {0^{+} } \end{array}\right\}\text{par quotient : }$$$$\lim\limits_{\begin{array}{l} {x\to -1} \\ {x<-1} \end{array}} \frac{2x^{3} +3}{x^{2} -1} =+\infty$$
Il en résulte que la droite d'équation est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction $$f$$.

On va calculer la limite en $$-1^{+}$$ :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{\begin{array}{l} {x\to -1} \\ {x>-1} \end{array}} 2x^{3} +3} & {=} & {5} \\ {\lim\limits_{\begin{array}{l} {x\to -1} \\ {x>-1} \end{array}} x^{2} -1} & {=} & {0^{-} } \end{array}\right\}\text{par quotient : }$$$$\lim\limits_{\begin{array}{l} {x\to -1} \\ {x>-1} \end{array}} \frac{2x^{3} +3}{x^{2} -1} =-\infty$$
Il en résulte que la droite d'équation est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction $$f$$.

$$f$$ est dérivable sur $$Df$$
On reconnait la forme $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$ avec $$u(x)=2x^{3}+3$$ et $$v(x)=x^{2}-1$$
Ainsi : $$u'(x)=6x^{2}$$ et $$v'(x)=2x$$
Il vient alors que :
$$f'(x)=\frac{6x^{2}\times(x^{2}-1)-(2x^{3}+3)\times2x}{(x^{2}-1)^{2}}$$ équivaut successivement à :
$$f'(x) = \frac{6x^{4}-6x^{2}-4x^{4}-6x}{(x^{2}-1)^{2}}$$
$$f'(x) = \frac{2x^{4}-6x^{2}-6x}{(x^{2}-1)^{2}}$$ . Nous allons factoriser par $$2x$$ . Ce qui nous donne :
$$f'(x) = \frac{2x(x^{3}-3x-3)}{(x^{2}-1)^{2}}$$

Rappelons que $$-1$$ et $$1$$ sont les valeurs interdites.
On en déduit le tableau de variation de $$f$$ :