Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 1

$$\pink{\text{D'une part :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2}+3} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par somme :}}$$
$$\pink{\text{D'autre part :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{3} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2}+3} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $$+\infty -\infty$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}}$$ $$\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}}$$ $$\blue{x^{3} }$$.
$$\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{3}+x^{2}+3=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(\frac{-x^{3}+x^{2}+3}{x^{3} } \right)$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{3}+x^{2}+3=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(-\frac{x^{3} }{x^{3} } +\frac{x^2}{x^{3} } +\frac{3}{x^{3} } \right)$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{3}+x^{2}+3=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(-1+\frac{1}{x} +\frac{3}{x^{3} } \right)$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -1+\frac{1}{x} +\frac{3}{x^{3} } } & {=} & {-1} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par produit :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$

$$g$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$.
On va commencer par calculer la dérivée de $$g$$.
Il vient alors que :
$$g'(x) = -3x^{2}+2x$$ , c'est une équation du second degré, on calcule le discriminant et on détermine les racines.
Ainsi : $$\Delta = 4$$ , il existe donc deux racines réelles distinctes telles que : $$x_{1} = \frac{2}{3}$$ et $$x_{2} = 0$$.
Comme $$a=-3<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$g'$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de signe de $$g'$$ ainsi que le tableau de variation de $$g$$. On indiquera les valeurs des extrema.

De plus:
$$g\left(0\right) = -0^{3} + 0^{2} + 3$$ ainsi
$$g\left(\frac{2}{3}\right) = -\left(\frac{2}{3}\right)^{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^{2} + 3$$ ainsi

On reprend le tableau de variation fait à la question $$2$$. On fera apparaître le zéro que l'on recherche.
De plus :

• Sur $$\left]-\infty;\frac{2}{3}\right[$$ , la fonction $$g$$ est continue et admet $$3$$ comme minimum.
  La fonction $$g$$ est strictement positive.
  Donc l'équation $$g(x)=0$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
• Sur $$\left[\frac{2}{3};+\infty\right[$$ , la fonction $$g$$ est continue et strictement décroissante.
  De plus, $$g\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{85}{27}$$ et $$\lim _{x \rightarrow +\infty}{g(x)} = -\infty$$
  Or $$0 \in \left]-\infty;\frac{85}{27}\right]$$ , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\mathbb{R}$$ tel que $$g(x) = 0$$
  

A la calculatrice, on vérifie que :
$$g(1,86)\approx0,0247$$ et $$g(1,87)\approx-0,042$$
Or $$0 \in \left[-0,042;0,0247\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que : $$1,86\le\alpha\le1,87$$

Sur $$\left]-\infty;\frac{2}{3}\right]$$, la fonction $$g$$ est continue et admet $$3$$ comme minimum. La fonction $$g$$ est strictement positive.
Sur $$\left[\frac{2}{3};+\infty\right[$$, la fonction $$g$$ est continue et strictement décroissante et $$g(\alpha) = 0$$
Donc $$g(x)\ge0$$ pour tout $$x\in\left]-\infty;\alpha\right]$$ et $$g(x)\le0$$ pour tout $$x\in\left[\alpha;+\infty\right[$$
On résume cela dans un tableau de signe :