Etudier une suite définie par une relation de récurrence $$u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$$ - Exercice 2

$$f$$ est dérivable sur $$\left[0;+\infty\right[$$ .
On reconnaît ici $$\sqrt{u}$$ où $$u\left(x\right)=5x+6$$. Ainsi $$u'\left(x\right)=5$$.
Il en résulte que :
Pour tout réel $$x\in \left[0;+\infty\right[$$, on vérifie aisément que $$5>0$$ et que $$2\sqrt{5x+6}>0$$.
Il en résulte donc que tout réel $$x\in \left[0;+\infty\right[$$, on a : $$f'\left(x\right)>0$$.
La fonction $$f$$ est strictement croissante sur $$\left[0;+\infty\right[$$ .

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :0\le u_n\le u_{n+1}\le6$$
$$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$$
Nous savons que $$u_{0} =1$$ et $$u_{1} =f\left(u_{0}\right)=\sqrt{5\times0+6}$$ ainsi $$u_{1}=\sqrt{6}$$
Ainsi : $$0\le u_0\le u_{1}\le6$$
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire : $$0\le u_k\le u_{k+1}\le6$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire : $$0\le u_{k+1}\le u_{k+2}\le6$$
Par hypothèse de récurrence,
$$0\le u_k\le u_{k+1}\le6$$ , or $$f:x\mapsto \sqrt{5x+6}$$ une fonction croissante sur $$\left[0;+\infty \right[$$ . L'ordre est donc conservé , ainsi :
$$f\left(0\right)\le f\left(u_k\right)\le f\left(u_{k+1}\right)\le f\left(6\right)$$ .
Nous savons aussi que : $$u_{k+1} =f\left(u_{k}\right)$$ et de ce fait $$u_{k+2} =f\left(u_{k+1}\right)$$ .De plus, $$f\left(0\right)=\sqrt{6}$$ et $$f\left(6\right)=6$$
Ainsi :
$$\sqrt{6}\le u_{k+1}\le u_{k+2}\le6$$
$$0\le\sqrt{6}\le u_{k+1}\le u_{k+2}\le6$$
Ce qui nous donne maintenant :
$$0\le u_{k+1}\le u_{k+2}\le6$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, $$0\le u_n\le u_{n+1}\le6$$ .

D'après la question précédente, nous savons que pour tout entier naturel $$n$$, on a : $$0\le u_n\le u_{n+1}\le6$$.
De ce fait, la suite $$\left(u_n\right)$$ est croissante car $$u_n\le u_{n+1}$$
On vient de démontrer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ était majorée par $$6$$ car : $$u_{n} \le 6$$. De plus, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$l$$.
Cette limite est alors une valeur comprise entre $$0$$ et $$6$$ car pour tout entier naturel $$n$$, on a : $$0\le u_n\le u_{n+1}\le6$$.

Nous savons que :

La fonction $$f$$ est continue sur l'intervalle $$\left[0;+\infty\right[$$ .

La suite $$\left(u_{n} \right)$$ définie par $$u_{0} =0$$ et $$u_{n+1} =f\left(u_{n}\right)$$ est convergente vers une limite $$l$$ .

D'après le théorème du point fixe, $$l$$ est solution de l'équation $$f\left(x\right)=x$$ .
$$f\left(x\right)=x$$ équivaut successivement à :
$$\sqrt{5x+6} =x$$
$$\left(\sqrt{5x+6} \right)^{2} =x^{2}$$
$$5x+6=x^{2}$$
$$-x^{2} +5x+6=0$$
Il s'agit d'une équation du second degré.
Ainsi : $$\Delta =5^{2} -4\times \left(-1\right)\times6$$
$$\Delta =49$$
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-5-\sqrt{49} }{2\times \left(-1\right)}$$ d'où $$x{}_{1} =6$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-5+\sqrt{49} }{2\times \left(-1\right)}$$ d'où $$x{}_{2} =-1$$
Les racines de l'équation $$-x^{2} +5x+6=0$$ sont donc :
Nous savons d'après la question précédente que la limite est une valeur comprise entre $$0$$ et $$6$$ car pour tout entier naturel $$n$$, on a : $$0\le u_n\le u_{n+1}\le6$$.
Il en résulte que l'on exclut la valeur $$-1$$.
Ainsi la suite $$\left(u_{n} \right)$$ converge vers $$l=6$$.